Calcolo Autovalori ed Autovettori

[TS778LB]

Ciao. Ho la seguente matrice:
$ A=( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 7/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 5/4) ) $
Per determinare gli autovalori ho calcolato il determinante di $ (A-I\lambda) $:
$ det(A-I\lambda)=det( ( -1-\lambda , 0 , 0 ),( 0 , 7/4-\lambda , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 5/4-\lambda ) ) $
$ =(-1-\lambda)(\lambda+1)(\lambda+2) $
Ponendolo uguale a $ 0 $ ottengo $ \lambda_1=-2 $ con molteplicità $ 1 $ e $ \lambda_2=-1 $ con molteplicità $ 2 $. Per gli autovettori relativi a $ \lambda_1=-2 $ risolvo il sistema
$ ( ( 1, 0 , 0 ),( 0 , 15/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 13/4 ) ) ( ( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ da cui ottengo $ ( ( a_1 ),( 15/4a_2+\sqrt3/4a_3 ),( \sqrt3/4a_2+1/4a_3 ) ) =( ( 0 ),(0),( 0 ) ) $
L'unica soluzione è possibile è il vettore nullo ma non dovrebbe essere così.
Dove sbaglio?
Grazie

[Quinzio]

Se prima moltiplico la matrice per $4$ per semplificare i calcoli, poi calcolo gli autovalori:
$(-4-x)(x^2 -12x +32) = -(x+4)(x-4)(x-8)$

$x = -4, 4, 8$

Tornando a dividere per $4$

$\lambda = -1, 1, 2$

[TS778LB]

Grazie, ho ricontrollato ed ora mi ritrovo con gli autovalori. Ma in tutti casi non riesco a trovare alcun autovettore
$ \lambda=-1->( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 11/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 9/4 ) )( ( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) )=( ( 0 ),( 11/4a_2+\sqrt3/4a_3 ),( 9/4a_3+\sqrt3/4a_2 ) ) $
In tutti i casi ottengo il vettore nullo come unica soluzione

[Quinzio]

Il fatto e' che non ti e' chiaro cosa significa "trovare l'autovettore relativo a un autovalore".

Fin qui tutto bene:
$ \lambda=-1->( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 11/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 9/4 ) )( ( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) ) $

Adesso devi trovare lo spazio nullo, il kernel, della matrice.
Lo spazio nullo sono tutti quei vettori $\vec a$ per cui

$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 11/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 9/4 ) ) \vec a = \vec 0 $

Lo spazio nullo in questo caso e' formato da tutti i vettori $k (1, 0, 0)$ con $k \in R$.

L'autovettore che cerchiamo e' un vettore rappresentativo dello spazio che abbiamo trovato.
Ad esempio $(1, 0, 0)$ va gia' benissimo, ma vanno bene anche $(2, 0, 0)$ oppure $(-10, 0, 0)$ oppure $(-1/\pi, 0, 0)$.

Per cui se ti chiedono qual e' l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda = -1$, puoi anche rispondere $(-1/\pi, 0, 0)$

E' piu' chiaro adesso cosa devi fare ?

[j18eos]

...o se preferisci, scritta in una maniera equivalente alla risposta di Quinzio: tu giungi alla conclusione che
\[
\begin{cases}
\alpha_2=0\\
\alpha_3=0
\end{cases}
\]
e nulla più!, nel senso che non puoi inferire che sia \(\alpha_1=0\)!