Calcolare un determinante di una base di un sottospazio
Salve a tutti.
Ho un bel problema con l'algebra lineare. Forse si vede che sono arruginito con queste cose perché non le faccio da anni, ma ho bisogno di capire come si fa a calcolare il determinante di una matrice costituita dai vettori che formano una base di un sottospazio vettoriale. Mi spiego meglio.
Ho il mio spazio vettoriale $RR^n$, dato un sottospazio vettoriale di dimensione $k < n$, chiamiamolo $U$, ed ho una base di $U$ formata da $k$ vettori linearmente indipendenti $a_i = (a_{i1}, ..., a_{1n})$, $i = 1,...,k$ (vettori in $RR^n$).
Ottengo perciò una matrice $k$ x $n$ $(a_{ij})$ che definisce un endomorfismo $U \to U$ da cui però non riesco a capire come calcolare il determinante.
Voi sapete come fare perché io non ricordo proprio come si fa
Per esempio, considerando $RR^3$ ed il sottospazio $U = \{ x = (x_1, x_2, x_3) \in RR^3 | x_1 + x_2 + x_3 = 0\}$, e considerando la base $(1, 0, -1)$, $(1,-1, 0)$, come calcolare il loro determinante? Ovvero, equivalentemente, come calcolare il volume del parallelotopo (fondamentale) generato dai due vettori (che sarebbe il valore assoluto del determinante, e ciò che veramente serve a me?)
Il mio problema lo devo applicare al fatto che, considerando il reticolo $E_7$ (definito qui: http://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)), una sua base è data da 7 vettori in $RR^8$, da cui vorrei calcolare il suo determinante, ovvero il volume del suo parallelotopo fondamentale.
Qualcuno mi sa aiutare?
Ho un bel problema con l'algebra lineare. Forse si vede che sono arruginito con queste cose perché non le faccio da anni, ma ho bisogno di capire come si fa a calcolare il determinante di una matrice costituita dai vettori che formano una base di un sottospazio vettoriale. Mi spiego meglio.
Ho il mio spazio vettoriale $RR^n$, dato un sottospazio vettoriale di dimensione $k < n$, chiamiamolo $U$, ed ho una base di $U$ formata da $k$ vettori linearmente indipendenti $a_i = (a_{i1}, ..., a_{1n})$, $i = 1,...,k$ (vettori in $RR^n$).
Ottengo perciò una matrice $k$ x $n$ $(a_{ij})$ che definisce un endomorfismo $U \to U$ da cui però non riesco a capire come calcolare il determinante.
Voi sapete come fare perché io non ricordo proprio come si fa
Per esempio, considerando $RR^3$ ed il sottospazio $U = \{ x = (x_1, x_2, x_3) \in RR^3 | x_1 + x_2 + x_3 = 0\}$, e considerando la base $(1, 0, -1)$, $(1,-1, 0)$, come calcolare il loro determinante? Ovvero, equivalentemente, come calcolare il volume del parallelotopo (fondamentale) generato dai due vettori (che sarebbe il valore assoluto del determinante, e ciò che veramente serve a me?)
Il mio problema lo devo applicare al fatto che, considerando il reticolo $E_7$ (definito qui: http://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)), una sua base è data da 7 vettori in $RR^8$, da cui vorrei calcolare il suo determinante, ovvero il volume del suo parallelotopo fondamentale.
Qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
Mi stavo chiedendo se tu cercassi qualcosa tipo questo:
http://www.homer.it/dispense/Mat4F/Mat4F-5Area.pdf
ma mi sa che sono fuori strada.
Vabbè scusa per averti fatto perdere tempo e per averti dato l'illusione che ti dessi una risposta decente.
Sentiamo che ci dicono i capoccioni del forum, sono curioso.
http://www.homer.it/dispense/Mat4F/Mat4F-5Area.pdf
ma mi sa che sono fuori strada.
Vabbè scusa per averti fatto perdere tempo e per averti dato l'illusione che ti dessi una risposta decente.
Sentiamo che ci dicono i capoccioni del forum, sono curioso.
non so di cosa parli perciò ho cercato un po' alla cieca però in http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Cauchy-Binet a "interpretazione nello spazio euclideo" forse c'è quello che cerchi parla di volumi e parallelotopi 
Ecco si amel, non so come spiegarlo e te mi hai dato una bell'incentivo. Per chi ha fatto le k-forme, è calcolare il volume di
$a_{1} \wedge ... \wedge a_k$
vorrei sapere come fare per calcolarlo. Non mi ricordo più una mazza di queste cose.
@rubik:
qui dice che dovrei calcolare il determinante di $A^t A$, dove $A = (a_{ij})$, per avere il quadrato del volume del parallelotopo...è giusto?
$a_{1} \wedge ... \wedge a_k$
vorrei sapere come fare per calcolarlo. Non mi ricordo più una mazza di queste cose.
@rubik:
qui dice che dovrei calcolare il determinante di $A^t A$, dove $A = (a_{ij})$, per avere il quadrato del volume del parallelotopo...è giusto?
io non so niente di queste cose, cercavo la definizione di parallelotopo e mi sono imbattuto in quella pagina di wikipedia quindi non so se sia giusto 
ha un senso perchè $A^tA$ è quadrata per ogni A che nel tuo caso non lo è e quindi puoi calcolarti il determinante, a parte questo
ha un senso perchè $A^tA$ è quadrata per ogni A che nel tuo caso non lo è e quindi puoi calcolarti il determinante, a parte questo
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