Calcolare tutte e sole le matrici tali che A*Atrasp. = lambda I
MI servirebbe trovare la dimensione del sottospazio W delle matrici tali che
$A A^t = \lambda I$.
Ora, ho meditato che, se $\lambda$ è un complesso non nullo, posso scrivere
$\dim W = 2\dim \span(M)$ II).
dove M è l'insieme delle matrici ortogonali. Infatti ho diviso la (1) per $\lambda$, ne ho estratto la radice quadrata (che esiste sempre), e ho osservato che la matrice $1/\sqrt(\lambda)$ è ortogonale.
Quindi si ha
$W = aM+i bM$, con M ortogonale, al variare di a,b,M. Questo per motivare la II).
Il problema ora si riconduce a calcolarsi la dimensione di $\span(W)$, cioè delle combinazioni lineari di matrici ortogonali (esso risulta un sottospazio).
$A A^t = \lambda I$.
Ora, ho meditato che, se $\lambda$ è un complesso non nullo, posso scrivere
$\dim W = 2\dim \span(M)$ II).
dove M è l'insieme delle matrici ortogonali. Infatti ho diviso la (1) per $\lambda$, ne ho estratto la radice quadrata (che esiste sempre), e ho osservato che la matrice $1/\sqrt(\lambda)$ è ortogonale.
Quindi si ha
$W = aM+i bM$, con M ortogonale, al variare di a,b,M. Questo per motivare la II).
Il problema ora si riconduce a calcolarsi la dimensione di $\span(W)$, cioè delle combinazioni lineari di matrici ortogonali (esso risulta un sottospazio).
Risposte
INtanto siete daccordo sul dire che $W={\lambda M}$, con lambda complesso e M ortogonale?
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E' il quarto up...ci tenevo a ricevere aiuto su questo quesito, ormai la curiosità è insopportabile!:(
Trovare tutte e sole le matrici tale che
$A A^t=\lambda I$ (II)
per qualche $\lambda\in RR$...e dimostrare che è un sottospazio vettoriale
TENTATIVI....
La dimostrazione che è un sottospazio mi si impantana in un punto...scrivo quel che so...
La chiusura rispetto al prodotto per scalari è ovvia: se AA^t = $\lambda I$, allora $\mu A\mu A^t=\mu^2 AA^t= \mu^2 \lambda I$, e ci siamo.
La chiusura rispetto alla somma è meno immediata:
$(A+B)^t (A+B) = (A^t+B^t)(A+B)=A^t A+B^t B + A^t B+B^t A$.
Adesso occorrerebbe dimostrare che. se $A, B$ appartengono a quell'insieme, allora $A^t B+B^t A$ è multiplo dell'identità... ma qui mi impantano...
riguardo al trovarle tutte e sole, ho pensato di poter riscrivere la relazione (II) in questo modo
$\sqrt \lambda A \sqrt\lambda A^t = I$
Ovvero sono tutte le matrici che ammettono un multiplo ortogonale...da ciò ho pensato che potesse valere l'uguaglianza (chiamo W l'insieme delle matrici t.c. $A A^t=\lambda I$)
$W=\{\lambda M}$, con M ortogonale, $\lambda$ complesso.
E' giusto?
Altra domanda importante: come posso calcolare la dimensione di W?
Trovare tutte e sole le matrici tale che
$A A^t=\lambda I$ (II)
per qualche $\lambda\in RR$...e dimostrare che è un sottospazio vettoriale
TENTATIVI....
La dimostrazione che è un sottospazio mi si impantana in un punto...scrivo quel che so...
La chiusura rispetto al prodotto per scalari è ovvia: se AA^t = $\lambda I$, allora $\mu A\mu A^t=\mu^2 AA^t= \mu^2 \lambda I$, e ci siamo.
La chiusura rispetto alla somma è meno immediata:
$(A+B)^t (A+B) = (A^t+B^t)(A+B)=A^t A+B^t B + A^t B+B^t A$.
Adesso occorrerebbe dimostrare che. se $A, B$ appartengono a quell'insieme, allora $A^t B+B^t A$ è multiplo dell'identità... ma qui mi impantano...
riguardo al trovarle tutte e sole, ho pensato di poter riscrivere la relazione (II) in questo modo
$\sqrt \lambda A \sqrt\lambda A^t = I$
Ovvero sono tutte le matrici che ammettono un multiplo ortogonale...da ciò ho pensato che potesse valere l'uguaglianza (chiamo W l'insieme delle matrici t.c. $A A^t=\lambda I$)
$W=\{\lambda M}$, con M ortogonale, $\lambda$ complesso.
E' giusto?
Altra domanda importante: come posso calcolare la dimensione di W?
up
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Ancora up...che post sfortunato!
Come si suol dire...la speranza è l'ultima a morire...
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