Calcolare l'immagine
Io non riesco a calcolare l'immagine nell'insieme [2 , 6] di questa funzione...
$f(x)=log(2+|3-x|)$
Continua a venirmi sempre [log3, log5] mentre il risultato è [log2, log5]
Per risolverla ho posto $y=log(2+|3-x|)$
e quindi $x=5-10^y$
e infine $2<=5-10^y<=6$
da lì mi viene la prima parte $y<=log3$ e la seconda parte $10^y>=-1$ che non va bene...
Se invece considero la $x<=3$ dato che c'è il valore assoluto allora ho posto $2<=5-10^y<=3$
ed effettivamente risolvendo $5-10^y<=3$ mi viene $y>=log2$ !
Adesso il problema è che non mi torna il log 5!
aiuto!!! che logica seguire? e come fare?
$f(x)=log(2+|3-x|)$
Continua a venirmi sempre [log3, log5] mentre il risultato è [log2, log5]
Per risolverla ho posto $y=log(2+|3-x|)$
e quindi $x=5-10^y$
e infine $2<=5-10^y<=6$
da lì mi viene la prima parte $y<=log3$ e la seconda parte $10^y>=-1$ che non va bene...
Se invece considero la $x<=3$ dato che c'è il valore assoluto allora ho posto $2<=5-10^y<=3$
ed effettivamente risolvendo $5-10^y<=3$ mi viene $y>=log2$ !
Adesso il problema è che non mi torna il log 5!
aiuto!!! che logica seguire? e come fare?
Risposte
Ciao,
allora....quando in una funzione è presente il modulo, bisogna eliminarlo, facendo mantenere alla funzione le stesse caratteristiche, ossia:
nel nostro caso la funzione $y=log(2+|3-x|)$ equivale a:
$y=log(5-x)$ per $x<3$ e $y=log(x-1)$ per $x>3$
dunque per $x=2$ essendo $2<3$ applichi la prima ottenendo così $log3$, mentre per $x=6$ essendo $6>3$ applichi la seconda ottenendo $y=log5$
Quindi il risultato dovrebbe essere $log3$ e $log5$, mi sembra strano che il tuo libro riporti $log2$ anzichè $log3$.......boh!
allora....quando in una funzione è presente il modulo, bisogna eliminarlo, facendo mantenere alla funzione le stesse caratteristiche, ossia:
nel nostro caso la funzione $y=log(2+|3-x|)$ equivale a:
$y=log(5-x)$ per $x<3$ e $y=log(x-1)$ per $x>3$
dunque per $x=2$ essendo $2<3$ applichi la prima ottenendo così $log3$, mentre per $x=6$ essendo $6>3$ applichi la seconda ottenendo $y=log5$
Quindi il risultato dovrebbe essere $log3$ e $log5$, mi sembra strano che il tuo libro riporti $log2$ anzichè $log3$.......boh!
i valori agli estremi sono quelli calcolati da te. bisogna vedere se la funzione è strettamente crescente oppure no. se la risposta è sì, allora il tuo risultato è giusto, se la risposta è no, bisogna trovare il minimo ed il massimo...
secondo me devi studiare le due disequazioni
2
$2 < 5 - 10^y < 3$ cioè $- 3 < - 10^y < - 2$ quindi $ 2 > 10^y > 3$ allora $log 2 < y < log 3$
$3 < 1 + 10^y < 6$ cioè $ 2 < 10^y < 5 $ cioè $log 2 < y < log 5$
e poi unire le soluzioni.
2
$2 < 5 - 10^y < 3$ cioè $- 3 < - 10^y < - 2$ quindi $ 2 > 10^y > 3$ allora $log 2 < y < log 3$
$3 < 1 + 10^y < 6$ cioè $ 2 < 10^y < 5 $ cioè $log 2 < y < log 5$
e poi unire le soluzioni.
Ho capito! Grazie!!!
Il problema è che i massimi e minimi ancora non si sono fatti... (cioè li ho fatti solo alle superiori...)
Per i risultati non so... perché gli esercizi del libro sull'immagine li ho fatti tutti e in effetti mi tornano, dunque sono andata a vedere i vecchi compiti di matematica dell'università e a questa immagine mi dava come risultato il log2 e log5 ma appunto non mi tornava!
E non sapevo cosa pensare... pensavo fosse colpa appunto del valore assoluto, invece...
grazie per la spiegazione!
Comunque la stessa cosa vale anche per questo: $f(x)=-x^2+4x+2$ in [1,5)
e a me continua a tornare (-3,5] mentre sul risultato d'esame mi da (-3,6]... insomma sbaglio sempre di uno!
Comunque non c'è da escludere che i risultati siano forse riportati male...
alle.fabbri
allora nel tuo caso effettivamente facendo l'unione verrebbe effettivamente $[log2,log5]$ e in questo caso torna!
Il problema è che i massimi e minimi ancora non si sono fatti... (cioè li ho fatti solo alle superiori...)
Per i risultati non so... perché gli esercizi del libro sull'immagine li ho fatti tutti e in effetti mi tornano, dunque sono andata a vedere i vecchi compiti di matematica dell'università e a questa immagine mi dava come risultato il log2 e log5 ma appunto non mi tornava!
E non sapevo cosa pensare... pensavo fosse colpa appunto del valore assoluto, invece...
grazie per la spiegazione!Comunque la stessa cosa vale anche per questo: $f(x)=-x^2+4x+2$ in [1,5)
e a me continua a tornare (-3,5] mentre sul risultato d'esame mi da (-3,6]... insomma sbaglio sempre di uno!
Comunque non c'è da escludere che i risultati siano forse riportati male...
alle.fabbri
allora nel tuo caso effettivamente facendo l'unione verrebbe effettivamente $[log2,log5]$ e in questo caso torna!
Ma perchè non ti tracci un grafico delle funzioni di cui vuoi calcolare l'immagine?
Così ti renderesti conto che i risultati del tuo libro sono ESATTI.
Nel caso della parabola, $ y =-x^2+4x+ 2$ (che dovresti saper tracciare anche senza l'analisi ) di dovresti rendere conto facilmente che sbagli perchè non tieni conto del vertice.
Nel caso della funzione logaritmica sbagli perchè non tieni conto che la funzione presenta per x = 3 un punto angoloso, dove assume il valore minimo. Il grafico si può tracciare senza l'analisi, con semplici traslazioni e simmetrie a partire dal grafico della funzione logaritmica $y =lnx$
Così ti renderesti conto che i risultati del tuo libro sono ESATTI.
Nel caso della parabola, $ y =-x^2+4x+ 2$ (che dovresti saper tracciare anche senza l'analisi ) di dovresti rendere conto facilmente che sbagli perchè non tieni conto del vertice.
Nel caso della funzione logaritmica sbagli perchè non tieni conto che la funzione presenta per x = 3 un punto angoloso, dove assume il valore minimo. Il grafico si può tracciare senza l'analisi, con semplici traslazioni e simmetrie a partire dal grafico della funzione logaritmica $y =lnx$
Per "adaBTTLS",
ooops....
...io ho erroneamente pensato che l'esercizio chiedesse di calcolare l'immagine nei due punti, se invece l'esercizio intende calcolare il max e il min dell'immagine nell'intervallo di $x$ che va da $2$ a $6$ allora il risultato è $log2$, che lo si ottiene per $x=3$ e $log5$ per $x=6$.
Ciao
ooops....
...io ho erroneamente pensato che l'esercizio chiedesse di calcolare l'immagine nei due punti, se invece l'esercizio intende calcolare il max e il min dell'immagine nell'intervallo di $x$ che va da $2$ a $6$ allora il risultato è $log2$, che lo si ottiene per $x=3$ e $log5$ per $x=6$.Ciao
Ok, capito! Grazie!!!
Praticamente nella parabola $f(x)=-x^2+4x+2$ nell'intervallo$[1,5)$... nel punto di $x=1$ il risultato è $5$, per $x=5$ il risultato è $-3$ mentre nel vertice cioè $x=2$ assume $6$... dunque come immagine si prende in poche parole il massimo e il minimo numero che assume la funzione?!? cioè $(-3,6]
Per l'altra figura il ragionamento è lo stesso giusto? allora se $x=3$ il risultato è $log2$ in cui c'è il punto angoloso, in $x=2$ si ha il $log3$ mentre se $x=6$ allora il $log5$ e si prende il max e il min cioè $[log2,log5]$
(più che altro bisogna capire com'è il grafico mi sembra di aver capito...)
Penso di aver capito i miei errori!
Praticamente nella parabola $f(x)=-x^2+4x+2$ nell'intervallo$[1,5)$... nel punto di $x=1$ il risultato è $5$, per $x=5$ il risultato è $-3$ mentre nel vertice cioè $x=2$ assume $6$... dunque come immagine si prende in poche parole il massimo e il minimo numero che assume la funzione?!? cioè $(-3,6]
Per l'altra figura il ragionamento è lo stesso giusto? allora se $x=3$ il risultato è $log2$ in cui c'è il punto angoloso, in $x=2$ si ha il $log3$ mentre se $x=6$ allora il $log5$ e si prende il max e il min cioè $[log2,log5]$
(più che altro bisogna capire com'è il grafico mi sembra di aver capito...)
Penso di aver capito i miei errori!
torno su questo topic perché mi sono ricordata ora della sua esistenza (era finito nel dimenticatoio!).
diciamo che anche senza il calcolo diretto di massimi e minimi, bisogna considerare la continuità e la monotonia delle funzioni. il teorema di Bolzano (o teorema dei valori intermedi) ti garantisce che una funzione continua su un intervallo [a,b], se in tale intervallo assume due valori, c,d con c
in [2,3] la funzione è log(5-x), che è decrescente perché all'aumentare della x diminuisce l'argomento del logaritmo e quindi il valore del logaritmo (perché appunto il logaritmo è crescente al crescere dell'argomento),
in [3,6] la funzione è log(x-1) che cresce al crescere di x.
quindi per x=3 troviamo un minimo sia per la prima parte sia per la seconda, e tale minimo vale log(5-3)=log(3-1)=log(2).
il massimo per la prima parte è in x=2, e vale log(3), il massimo per la seconda parte è in x=6, e vale log(5).
quindi il codominio è [log(2), log(5)].
per la parabola penso che si richieda di ricordare qualche formuletta, anche solo V_x = -b/(2a), che in questo caso significa che il vertice ha ascissa
x=(-4)/(-2)=+2, ed il valore dell'ordinata si può trovare rapidamente anche per sostituzione: y=-2^2+4*2+2=-4+8+2=6. come hai già trovato tu, essendo 6 maggiore sia di 5 sia di -3, mentre il valore -3 non viene assunto (vale solo come limite), perché la funzione è definita in [1,5), 6 è il massimo, mentre -3 è l'estremo inferiore che non è però il minimo. dunque è giusto il tuo risultato del codominio.
ciao.
diciamo che anche senza il calcolo diretto di massimi e minimi, bisogna considerare la continuità e la monotonia delle funzioni. il teorema di Bolzano (o teorema dei valori intermedi) ti garantisce che una funzione continua su un intervallo [a,b], se in tale intervallo assume due valori, c,d con c
in [2,3] la funzione è log(5-x), che è decrescente perché all'aumentare della x diminuisce l'argomento del logaritmo e quindi il valore del logaritmo (perché appunto il logaritmo è crescente al crescere dell'argomento),
in [3,6] la funzione è log(x-1) che cresce al crescere di x.
quindi per x=3 troviamo un minimo sia per la prima parte sia per la seconda, e tale minimo vale log(5-3)=log(3-1)=log(2).
il massimo per la prima parte è in x=2, e vale log(3), il massimo per la seconda parte è in x=6, e vale log(5).
quindi il codominio è [log(2), log(5)].
per la parabola penso che si richieda di ricordare qualche formuletta, anche solo V_x = -b/(2a), che in questo caso significa che il vertice ha ascissa
x=(-4)/(-2)=+2, ed il valore dell'ordinata si può trovare rapidamente anche per sostituzione: y=-2^2+4*2+2=-4+8+2=6. come hai già trovato tu, essendo 6 maggiore sia di 5 sia di -3, mentre il valore -3 non viene assunto (vale solo come limite), perché la funzione è definita in [1,5), 6 è il massimo, mentre -3 è l'estremo inferiore che non è però il minimo. dunque è giusto il tuo risultato del codominio.
ciao.
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