Calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni
Buongiorno,
spero che qualcuno sappia risolvere questo dubbio che mi perseguita da mesi.
Per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, è possibile fare la semplice operazione :
dimS= (n. incognite) - (rango della matrice associata). Dove con numero incognite si può intendere anche il numero di colonne della matrice, e qui ci sono.
Ora, questa operazione è utilizzabile anche per sistemi non omogenei o per essi non è possibile e l'unica cosa da fare è il calcolo del rango della matrice completa e incompleta (per Rouché-Capelli), e proseguire con il calcolo del determinante ecc ecc..? In pratica, c'è un modo veloce per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema non omogeneo o no?
Grazie!
spero che qualcuno sappia risolvere questo dubbio che mi perseguita da mesi.
Per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, è possibile fare la semplice operazione :
dimS= (n. incognite) - (rango della matrice associata). Dove con numero incognite si può intendere anche il numero di colonne della matrice, e qui ci sono.
Ora, questa operazione è utilizzabile anche per sistemi non omogenei o per essi non è possibile e l'unica cosa da fare è il calcolo del rango della matrice completa e incompleta (per Rouché-Capelli), e proseguire con il calcolo del determinante ecc ecc..? In pratica, c'è un modo veloce per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema non omogeneo o no?
Grazie!
Risposte
ti rispondo in due passi. del primo sono certo, del secondo ne ho solo sentito parlare e più di così non saprei risponderti.
Passo 1:
le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non costituiscono un sottospazio vettoriale. quindi non ha senso chiedersi la dimensione del sottospazio vettoriale.
Passo 2:
quello che ottieni è uno spazio affine se non sbaglio. qualcosa del tipo: $V = W + x_P$, dove $W$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato e $x_P$ è una soluzione particolare.
se non dico cavolate la dimensione dello spazio affine $V$ coincide con quella del sistema omogeneo associato.
Passo 1:
le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non costituiscono un sottospazio vettoriale. quindi non ha senso chiedersi la dimensione del sottospazio vettoriale.
Passo 2:
quello che ottieni è uno spazio affine se non sbaglio. qualcosa del tipo: $V = W + x_P$, dove $W$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato e $x_P$ è una soluzione particolare.
se non dico cavolate la dimensione dello spazio affine $V$ coincide con quella del sistema omogeneo associato.
Prima di tutto grazie per aver risposto.
Ho appena trovato un esempio di esercizio:
$ { ( x+2y+z+t=1 ),( -x-y-t=2 ):} $
dove, pur essendo non omogeneo, mi chiede di trovare la dimensione dello spazio delle soluzioni. Io mi sono limitata a fare il rango (quindi con gauss), che rimane 2, ed usare l'operazione di cui parlavo quindi 4-2=2, e la soluzione data è proprio due, però non capivo se fosse un caso o no. Come lo faresti/fareste?
Del secondo punto capisco cosa intendi perché l'ho trovato in molti siti, però nel mio libro e dal mio professore non è mai stato considerato questo coefficiente, o vettore, Xp ed ho sempre pensato fosse superfluo, riguarderò per capirlo meglio.
Ho appena trovato un esempio di esercizio:
$ { ( x+2y+z+t=1 ),( -x-y-t=2 ):} $
dove, pur essendo non omogeneo, mi chiede di trovare la dimensione dello spazio delle soluzioni. Io mi sono limitata a fare il rango (quindi con gauss), che rimane 2, ed usare l'operazione di cui parlavo quindi 4-2=2, e la soluzione data è proprio due, però non capivo se fosse un caso o no. Come lo faresti/fareste?
Del secondo punto capisco cosa intendi perché l'ho trovato in molti siti, però nel mio libro e dal mio professore non è mai stato considerato questo coefficiente, o vettore, Xp ed ho sempre pensato fosse superfluo, riguarderò per capirlo meglio.
le possibilità sono solo due allora:
1. sta implicitamente calcolando le equazioni dell'omogenea facendo come ho detto nel passo 2 ($dim V = dim W$)
2. quello che ho detto è una fesseria e c'è un modo per calcolare la dimensione. anche se mi sembra strano
purtroppo come ti dicevo oltre negli spazi affini non so andare, quindi non saprei cosa consigliarti per calcolarlo.
1. sta implicitamente calcolando le equazioni dell'omogenea facendo come ho detto nel passo 2 ($dim V = dim W$)
2. quello che ho detto è una fesseria e c'è un modo per calcolare la dimensione. anche se mi sembra strano
purtroppo come ti dicevo oltre negli spazi affini non so andare, quindi non saprei cosa consigliarti per calcolarlo.
Okey, grazie mille!
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