Calcolare il Gruppo fondamentale $\pi_1(X)$
Ciao a tutti!
Ho dei problemi con la topologia algebrica.
Devo trovare il gruppo fondamentale (primo gruppo di omotopia) di alcuni insiemi, senza trovare formalmente le applicazioni, mi serve solo capire ad intuito come fare, e possibilmente un metodo che funzioni quasi sempre.
1) $RR^{2}$ euclideo. $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,2)$, $D=(0,1)$. $X_0$ è l'unione di tutti i segmenti che congiungono tra loro i 4 punti.
Trovare $\pi_1(X_0)$.
Come faccio? Devo trovare una figura che sia omotopicamente equivalente al mio spazio, ma sono 3 triangoli uniti, non so calcolarmi il loro gruppo fondamentale (non ho proprio capito come si fa, magari poi è facile!).
2) Trovare $\pi_1(X_1)$ dove $X_1=X_0-{D}$.
3) Trovare $\pi_1(X_2)$ dove $X_2=X_0-{(0,0)}$.
4) Esiste un rivestimento $p: X_2 rarr S^1$?
Vi ringrazio in anticipo!!!
Ho dei problemi con la topologia algebrica.
Devo trovare il gruppo fondamentale (primo gruppo di omotopia) di alcuni insiemi, senza trovare formalmente le applicazioni, mi serve solo capire ad intuito come fare, e possibilmente un metodo che funzioni quasi sempre.
1) $RR^{2}$ euclideo. $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,2)$, $D=(0,1)$. $X_0$ è l'unione di tutti i segmenti che congiungono tra loro i 4 punti.
Trovare $\pi_1(X_0)$.
Come faccio? Devo trovare una figura che sia omotopicamente equivalente al mio spazio, ma sono 3 triangoli uniti, non so calcolarmi il loro gruppo fondamentale (non ho proprio capito come si fa, magari poi è facile!).
2) Trovare $\pi_1(X_1)$ dove $X_1=X_0-{D}$.
3) Trovare $\pi_1(X_2)$ dove $X_2=X_0-{(0,0)}$.
4) Esiste un rivestimento $p: X_2 rarr S^1$?
Vi ringrazio in anticipo!!!
Risposte
Conosci una qualche formulazione del teorema di Van Kampen? Sai cos'è l'edge-group di una triangolazione?
Van Kampen lo conosco, ma non ho capito bene quando e come applicarlo
Come ti è stato enunciato? (Ci sono molti modi per farlo, te lo chiedo perché altrimenti potremmo non ritrovarci sul "vocabolario".)
Qualcosa deve esserti stato detto, per fare questo esercizio 
ad esempio, è ineludibile sapere che \(\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\). Se ti è stato detto cos'è un CW-complesso, la soluzione è piuttosto semplice.
1) Osserva che $X_0$ è un CW complesso: la sua struttura cellulare più semplice è: 4 vertici, i punti $\{A,B,C,D\}$, a cui vengono attaccati i vari segmenti.
Questo spazio è omotopicamente equivalente a tre circonferenze attaccate tra loro per un punto (se prendi un CW complesso $X$, e un sotto-CW-complesso $A$ contraibile, la proiezione canonica \(X\to X/A\) è un'equivalenza omotopica: è un teorema che Hatcher dimostra all'inizio-inizio del suo libro, quindi è un risultato che non richiede tecnologia particolare. Nel caso in studio, sto prendendo il sotto-CW-complesso generato dai segmenti $\overline{Dx}$ dove \(x\in\{A,B,C\}\)). Ecco che allora \(\pi_1(X_0)\cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z} * \mathbb{Z} \), dato che
\[
\pi_1(X_0)\cong \pi_1(S^1 \vee S^1 \vee S^1)\cong \pi_1(S^1) * \pi_1(S^1) * \pi_1(S^1)
\]
2) Contrarre ciascun segmento $[x,D[$ al punto $x\in\{A,B,C\}$ implica che \(X_1\simeq S^1\).
3) Questo ora dovresti riuscire a farlo da solo
ad esempio, è ineludibile sapere che \(\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\). Se ti è stato detto cos'è un CW-complesso, la soluzione è piuttosto semplice.1) Osserva che $X_0$ è un CW complesso: la sua struttura cellulare più semplice è: 4 vertici, i punti $\{A,B,C,D\}$, a cui vengono attaccati i vari segmenti.
Questo spazio è omotopicamente equivalente a tre circonferenze attaccate tra loro per un punto (se prendi un CW complesso $X$, e un sotto-CW-complesso $A$ contraibile, la proiezione canonica \(X\to X/A\) è un'equivalenza omotopica: è un teorema che Hatcher dimostra all'inizio-inizio del suo libro, quindi è un risultato che non richiede tecnologia particolare. Nel caso in studio, sto prendendo il sotto-CW-complesso generato dai segmenti $\overline{Dx}$ dove \(x\in\{A,B,C\}\)). Ecco che allora \(\pi_1(X_0)\cong \mathbb{Z} * \mathbb{Z} * \mathbb{Z} \), dato che
\[
\pi_1(X_0)\cong \pi_1(S^1 \vee S^1 \vee S^1)\cong \pi_1(S^1) * \pi_1(S^1) * \pi_1(S^1)
\]
2) Contrarre ciascun segmento $[x,D[$ al punto $x\in\{A,B,C\}$ implica che \(X_1\simeq S^1\).
3) Questo ora dovresti riuscire a farlo da solo
Grazie mille!
Per @Epimenide93, il teorema di Van Kampen lo so più o meno così:
X spazio, se esistono due aperti U, V tali che $X= U\cup V$, e $U\cap V$ è semplicemente connesso, allora
$\pi_1(X)=\pi_1(U)\star \pi_1(V)$.
Tra l'altro, semplicemente connesso cosa significa esattamente? Solo che è contrattile?
Per @killing_buddha, i CW-complessi non so cosa siano, ma ho capito comunque la tua risposta. Ogni figura piana che è un contorno chiuso (nel senso, gli spigoli di un triangolo, un quadrato, ecc) è omotopicamente equivalente alla sfera S1, giusto? Quindi 3 triangoli attaccati sono 3 S1 unite in un punto!
Per il secondo punto, contraggo i 3 segmenti interni e quindi mi torna una sola S1.
Per il terzo a questo punto direi che contraggo i due segmenti della base e trovo due triangoli quindi due S1, quindi $ZZ\star\ZZ$, giusto?
Ti chiedo solo una cosa, le sfere in questo caso sono attaccate per un punto, se prendessi semplicemente due sfere in $RR^2$ che non si toccano, il risultato come sarebbe? E se si intersecassero in due punti?
Per @Epimenide93, il teorema di Van Kampen lo so più o meno così:
X spazio, se esistono due aperti U, V tali che $X= U\cup V$, e $U\cap V$ è semplicemente connesso, allora
$\pi_1(X)=\pi_1(U)\star \pi_1(V)$.
Tra l'altro, semplicemente connesso cosa significa esattamente? Solo che è contrattile?
Per @killing_buddha, i CW-complessi non so cosa siano, ma ho capito comunque la tua risposta. Ogni figura piana che è un contorno chiuso (nel senso, gli spigoli di un triangolo, un quadrato, ecc) è omotopicamente equivalente alla sfera S1, giusto? Quindi 3 triangoli attaccati sono 3 S1 unite in un punto!
Per il secondo punto, contraggo i 3 segmenti interni e quindi mi torna una sola S1.
Per il terzo a questo punto direi che contraggo i due segmenti della base e trovo due triangoli quindi due S1, quindi $ZZ\star\ZZ$, giusto?
Ti chiedo solo una cosa, le sfere in questo caso sono attaccate per un punto, se prendessi semplicemente due sfere in $RR^2$ che non si toccano, il risultato come sarebbe? E se si intersecassero in due punti?
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