Calcolare base di nucleo e immagine di un'applicazione lineare
Ciao,
ho un dubbio nel calcolo delle basi di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Parto dalla base del nucleo: credo di aver capito che bisogna scrivere la matrice associata all'applicazione e ridurla a scala. Successivamente risolvo il sistema lineare omogeneo associato e "raccolgo" i parametri variabili nel caso le soluzioni dipendano da uno o più di essi. Mi spiego meglio con un esempio:
In $F: R^3 \rightarrow R^3$ con $F(x, y, z) = (x-z, x+2y-z, x-4y-z)$ scrivo la matrice $A$ associata:
$((1,0,-1),(1,2,1),(1,-4,-1))$ che ridotta a scala mi da le seguenti soluzioni: $x=z, y=0$. Quindi essendo il nucleo $KerF = {(z,0,z) | z in R}$, ho che una base del nucleo stesso è $(1, 0, 1)$
E' giusto come ragionamento o sbaglio in qualche passaggio??
Per quanto riguarda l'immagine invece ho un forte dubbio sulla sua dimensione: è uguale a $3$ perchè il sottospazio in cui va l'applicazione è $R^3$ o devo ridurre a scala la matrice e vedere qual'è il rango?? Anche qui mi spiego meglio con un esempio:
In $F: R^2 \rightarrow R^2$ con $F(e_1) = 3e_1-3e_2$ e $F(e_2) = 2e_1-2e_2$ : facendo il primo ragionamento la dimensione dell'immagine è $2$, mentre calcolando il rango mi viene $1$. Quale delle due soluzioni è corretta??
Grazie mille per la pazienzaa
ho un dubbio nel calcolo delle basi di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Parto dalla base del nucleo: credo di aver capito che bisogna scrivere la matrice associata all'applicazione e ridurla a scala. Successivamente risolvo il sistema lineare omogeneo associato e "raccolgo" i parametri variabili nel caso le soluzioni dipendano da uno o più di essi. Mi spiego meglio con un esempio:
In $F: R^3 \rightarrow R^3$ con $F(x, y, z) = (x-z, x+2y-z, x-4y-z)$ scrivo la matrice $A$ associata:
$((1,0,-1),(1,2,1),(1,-4,-1))$ che ridotta a scala mi da le seguenti soluzioni: $x=z, y=0$. Quindi essendo il nucleo $KerF = {(z,0,z) | z in R}$, ho che una base del nucleo stesso è $(1, 0, 1)$
E' giusto come ragionamento o sbaglio in qualche passaggio??
Per quanto riguarda l'immagine invece ho un forte dubbio sulla sua dimensione: è uguale a $3$ perchè il sottospazio in cui va l'applicazione è $R^3$ o devo ridurre a scala la matrice e vedere qual'è il rango?? Anche qui mi spiego meglio con un esempio:
In $F: R^2 \rightarrow R^2$ con $F(e_1) = 3e_1-3e_2$ e $F(e_2) = 2e_1-2e_2$ : facendo il primo ragionamento la dimensione dell'immagine è $2$, mentre calcolando il rango mi viene $1$. Quale delle due soluzioni è corretta??
Grazie mille per la pazienzaa
Risposte
"musageta10":
Per quanto riguarda l'immagine invece ho un forte dubbio sulla sua dimensione: è uguale a $3$ perchè il sottospazio in cui va l'applicazione è $R^3$ o devo ridurre a scala la matrice e vedere qual'è il rango??
Ma non l'avevi già ridotta?
$A=((1,0,-1),(1,2,-1),(1,-4,-1)) rArr ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ci sono due pivot diversi da zero corrispondenti alle colonne l.i. , quindi ha rango 2.
Dato che l'immagine è generata dalle combinazioni lineari delle colonne, è generata dalle colonne l.indip di A, ovvero le prime due sono un'ottima base per l'immagine.
P.S. L'intervento di Salvy mi ha fatto notare che ho "copia e incollato" la matrice di musageta...che è sbagliata.
L'ho corretta.
"Bokonon":
[quote="musageta10"]
Per quanto riguarda l'immagine invece ho un forte dubbio sulla sua dimensione: è uguale a $3$ perchè il sottospazio in cui va l'applicazione è $R^3$ o devo ridurre a scala la matrice e vedere qual'è il rango??
Ma non l'avevi già ridotta?
$A=((1,0,-1),(1,2,1),(1,-4,-1)) rArr ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ci sono due pivot diversi da zero corrispondenti alle colonne l.i. , quindi ha rango 2.
Dato che l'immagine è generata dalle combinazioni lineari delle colonne, è generata dalle colonne l.indip di A, ovvero le prime due sono un'otitma base per l'immagine.[/quote]
Ok, quindi devo fare la riduzione a scala, vedere il rango (facciamo che sia uguale a $n$) e prendere $n$ colonne linearmente indipendenti?
Ma devo prendere in considerazione la matrice trasposta?? Graziee
"musageta10":
[quote="Bokonon"][quote="musageta10"]
Per quanto riguarda l'immagine invece ho un forte dubbio sulla sua dimensione: è uguale a $3$ perchè il sottospazio in cui va l'applicazione è $R^3$ o devo ridurre a scala la matrice e vedere qual'è il rango??
Ma non l'avevi già ridotta?
$A=((1,0,-1),(1,2,1),(1,-4,-1)) rArr ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ci sono due pivot diversi da zero corrispondenti alle colonne l.i. , quindi ha rango 2.
Dato che l'immagine è generata dalle combinazioni lineari delle colonne, è generata dalle colonne l.indip di A, ovvero le prime due sono un'otitma base per l'immagine.[/quote]
Ok, quindi devo fare la riduzione a scala, vedere il rango (facciamo che sia uguale a $n$) e prendere $n$ colonne linearmente indipendenti?
Ma devo prendere in considerazione la matrice trasposta?? Graziee[/quote]
Per trovare l'immagine devi :
-prendere i vettori della base canonica;
-li mandi in R^3 grazie all'applicazione lineare;
-i tre vettori che ottieni, li metti in colonna in una matrice, successivamente vedi quale tra questi vettori sono linearmente indipendenti(tramite combinazioni lineari o calcolando il rango della matrice, come dici tu), questi vettori genereranno l'immagine.Di conseguenza incomincia trovandoti $ f(1,0,0) $, e lo metti in colonna all'interno di una matrice .Fai questo procedimento anche per (0,1,0) e (0,0,1) ...
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