Calcolare al variare del parametro, l'immagine, il nucleo (basi e dimensioni) di un applicazione lineare
Salve a tutti, ho provato a dare uno sguardo su internet, ma non sono riuscito a trovare nulla che mi chiarisse le idee sui punti a, b e c di questo esercizio:
Vi ringrazio in anticipo per le vostre risposte.
Vi ringrazio in anticipo per le vostre risposte.
Risposte
Ciao,
il problema che ci hai allegato nell'immagine si vede un pò male quindi scrivo quì i dati.
Considero che la matrice $A$ sia associata ad $L_A$ rispetto alle basi canoniche.
a) per il calcolo del $Ker (L_A)$ devi risolvere il sistema
$((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4)) ((x),(y),(z),(t)) = ((0),(0),(0),(0))$
prima però ti conviene ridurre per righe la matrice A altrimenti ti perdi in conti
Intanto comincia da quì, per il punto b) ci arriviamo gradualmente
il problema che ci hai allegato nell'immagine si vede un pò male quindi scrivo quì i dati.
$L_A : RR^3 to RR^4$ definita dalla matrice $A$
$A=((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4))$
a) Calcolare il nucleo e la sua dimensione.
b) Calcolare l'immagine e la sua dimensione.
Considero che la matrice $A$ sia associata ad $L_A$ rispetto alle basi canoniche.
a) per il calcolo del $Ker (L_A)$ devi risolvere il sistema
$((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4)) ((x),(y),(z),(t)) = ((0),(0),(0),(0))$
prima però ti conviene ridurre per righe la matrice A altrimenti ti perdi in conti
Intanto comincia da quì, per il punto b) ci arriviamo gradualmente
Allora, ho risolto per righe la matrice ed una delle righe, utilizzando Gauss, viene eliminata; sono arrivato dunque al punto in cui la matrice è così ridotta:
$((1,0,1),(0,1,3),(0,a,3))$
Da cui estraggo il sistema:
$\{(x + z = 0),(y + 3z = 0),(ay + 3z = 0):}$
$((1,0,1),(0,1,3),(0,a,3))$
Da cui estraggo il sistema:
$\{(x + z = 0),(y + 3z = 0),(ay + 3z = 0):}$
I miei passaggi sono questi:
$((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4)) to ((1,0,1),(0,a,3),(0,1,3),(0,2,6)) to ((1,0,1),(0,a,3),(0,1,3),(0,0,0)) $
A questo punto vediamo che se $a=1$ la seconda e la terza riga sono uguali quindi il rango della matrice può al massimo essere 2.
Tutto chiaro fin quì?
$((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4)) to ((1,0,1),(0,a,3),(0,1,3),(0,2,6)) to ((1,0,1),(0,a,3),(0,1,3),(0,0,0)) $
A questo punto vediamo che se $a=1$ la seconda e la terza riga sono uguali quindi il rango della matrice può al massimo essere 2.
Tutto chiaro fin quì?
Sisi scusami pure a me viene come la tua, solo che ho scritto 4 invece di 3; comunque si, tutto chiaro.
P.S. ma la riga formata da tutti 0 bisogna lasciarla scritta?
P.S. ma la riga formata da tutti 0 bisogna lasciarla scritta?
Si infatti avevo intuito che fosse stata una svista
L'ho scritta per far capire che c'era una riga che risultava essere c.l. di quella superiore.
A questo punto si distingue il caso in cui $a=1$ da quello in cui è diversa:
-per $a=1$
${(x + z = 0), (y+3z=0):}$
quindi otteniamo che $Ker(L_A)={(-z,-3z,z)| z in RR}$ e ha dimensione 1.
-per $a!=1$
cosa succede?
"HankMoody":
P.S. ma la riga formata da tutti 0 bisogna lasciarla scritta?
L'ho scritta per far capire che c'era una riga che risultava essere c.l. di quella superiore.
A questo punto si distingue il caso in cui $a=1$ da quello in cui è diversa:
-per $a=1$
${(x + z = 0), (y+3z=0):}$
quindi otteniamo che $Ker(L_A)={(-z,-3z,z)| z in RR}$ e ha dimensione 1.
-per $a!=1$
cosa succede?
"Samy21":
-per $a=1$
${(x + z = 0), (y+3z=0):}$
quindi otteniamo che $Ker(L_A)={(-z,-3z,z)| z in RR}$ e ha dimensione 1.
- Per $a=1$ la base del Ker non dovrebbe essere (-z, -3z, 1) ?
- Per $a!=1$ la dimensione del Ker è 0, dunque la base del Ker è il vettore nullo. Giusto?
"HankMoody":
- Per $a=1$ la base del Ker non dovrebbe essere (-z, -3z, 1) ?
no, z è una variabile libera. Per scriverlo come dici tu dovremmo dire ${(-1,-3,1)z|z in RR}$
"HankMoody":
- Per $a!=1$ la dimensione del Ker è 0, dunque la base del Ker è il vettore nullo. Giusto?
In questo caso a può assumere qualsiasi valore. Non sono sicura della conclusione che possiamo trarne, vediamo se qualcuno interviene in nostro aiuto
Riguardo all'immagine, nel caso in cui $a=1$ sappiamo che la sua dimensione è 2 (grazie al teorema delle dimensioni).
Possiamo considerare quindi la matrice associata e stabilire quali sono i vettori l.i.
Non capisco allora, cioè:
dalle prime due equazioni del sistema ti ricavi x e y (-z, -3z) non capisco però come fa ad uscire z.
dalle prime due equazioni del sistema ti ricavi x e y (-z, -3z) non capisco però come fa ad uscire z.
"HankMoody":
Non capisco allora, cioè:
dalle prime due equazioni del sistema ti ricavi x e y (-z, -3z) non capisco però come fa ad uscire z.
Considera che abbiamo un sistema di due equazioni in 3 incognite.
Dal momento che una per forza rimarrà libera (perchè, appunto, mi manca la terza equazione che me la definisce) le altre due me le trovo in relazione a quella.
Nel caso specifico ho scelto $z$ perchè era abbastanza facile trovare $x$ e $y$ in relazione a $z$, considera che invece di $z$ potevo scrivere $t$ così non creava confusione.
Chiaro?
Sisi, ora è chiaro. Quindi ogni volta che mi chiedono di calcolare il Ker devo partire subito dalla matrice e ragionarci sopra?
Altra domanda: come faccio a determinare i vettori l.i. da scegliere come base dell'immagine?
Altra domanda: come faccio a determinare i vettori l.i. da scegliere come base dell'immagine?
"HankMoody":
Quindi ogni volta che mi chiedono di calcolare il Ker devo partire subito dalla matrice e ragionarci sopra?
Sì, devi sempre considerare il sistema $Ax=0$ dove A è la matrice associata.
Per facilitare i conti conviene sempre ridurre per righe così da considerare un sistema 'semplificato'.
"HankMoody":
come faccio a determinare i vettori l.i. da scegliere come base dell'immagine?
In questo caso devi considerare sempre la matrice associata A, ridurla per righe e vedere in quali colonne hai i pivot.
Le colonne che li conterranno vuol dire che sono l.i. e quindi scegli quei vettori per dire che costituiscono una base dell'immagine.
Ovviamente prima devi sapere la dimensione della base che stai cercando, usando il teorema delle dimensioni una volta nota la dimensione dello s.v. V e del Kerf.
Sisi, quello lo conosco, a posto allora per le lettere a) e b); aspettiamo solo qualcuno che ci dica il caso in cui a != 1.
Per il punto c invece?
Per il punto c invece?
"HankMoody":
Per il punto c invece?
Onestamente non riesco a capire la prima equazione, ad ogni modo io utilizzerei il teorema di Rouchè-Capelli per capire se questo sistema lineare ammette soluzioni.
Nel forum c'è un'ottimo topic che riguarda le risoluzioni dei sistemi lineari, ti può tornare utile
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=79095
Se hai bisogno chiedi pure
Sisi, rouchè-capelli era quello che avevo in mente, però non so come ragionare sui parametri, cioè come decido i valori da assegnare ai parametri?
"HankMoody":
come decido i valori da assegnare ai parametri?
Per il calcolo del rango dovrai tenere conto dei parametri,a quel punto dovrai analizzare dei casi.
Se provi a ridurre per righe la colonna poi sicuramente ti verrà un valore tipo $h-1$ (per esempio). In questo modo allora farai la distinzione nel caso in cui $h=1$ e $h!=1$.
Non ho fatto i conti quindi i numeri che ho scritto sono puramente a titolo di esempio.
Ok, quindi se i parametri sono 2, devo fare combinazioni tra di loro? Per esempio:
- se h = 0 e k = 1 allora ....
- se h = 1 e k = 1 allora ....
Giusto?
- se h = 0 e k = 1 allora ....
- se h = 1 e k = 1 allora ....
Giusto?
Si.
Ok, grazie mille per le risposte!
"HankMoody":
Ok, grazie mille per le risposte!
Prego, l'importante è essere stati utili
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