Butterfly's Lemma
Sia V uno spazio vettoriale sul campo C.
Siano dati i sottospazi [tex]A \supseteq B[/tex] e [tex]C \supseteq D[/tex] e si considerino i sottospazi nel diagramma a farfalla nel seguente link http://commons.wikimedia.org/wiki/File: ... _lemma.svg
Valgono le seguenti uguaglianze:
[tex]\frac {B+ \left( A \cap C \right) } { B+ \left( A \cap D \right) } \cong \frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}} \cong \frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac{ A \cap D }{B \cap D }} \cong
\frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }{B \cap C }}
\cong
\frac { A \cap C } { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }[/tex].
Ovviamente il primo e ultimo idomorfismo si giustificano con il secondo teorema di isomorfismo ma non riesco a capire i due isomorfismi centrali
.
Qualcuno me lo potrebbe spiegare?
Siano dati i sottospazi [tex]A \supseteq B[/tex] e [tex]C \supseteq D[/tex] e si considerino i sottospazi nel diagramma a farfalla nel seguente link http://commons.wikimedia.org/wiki/File: ... _lemma.svg
Valgono le seguenti uguaglianze:
[tex]\frac {B+ \left( A \cap C \right) } { B+ \left( A \cap D \right) } \cong \frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}} \cong \frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac{ A \cap D }{B \cap D }} \cong
\frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }{B \cap C }}
\cong
\frac { A \cap C } { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }[/tex].
Ovviamente il primo e ultimo idomorfismo si giustificano con il secondo teorema di isomorfismo ma non riesco a capire i due isomorfismi centrali
.Qualcuno me lo potrebbe spiegare?
Risposte
Almeno qualcuno potrebbe consigliarmi il titolo di un libro o di un sito che affronta questo problema?
Ciao. Viene tutto dall'isomorfismo canonico [tex]Y/X \cap Y \cong (X+Y)/X[/tex].
Per esempio [tex](B+(A \cap C))/B \cong (A \cap C)/(B \cap A \cap C) = (A \cap C)/(B \cap C)[/tex].
Per esempio [tex](B+(A \cap C))/B \cong (A \cap C)/(B \cap A \cap C) = (A \cap C)/(B \cap C)[/tex].
Ciao. Grazie per avermi risposto.
Rivedendolo, con il terzo teorema di isomorfismo riesco a capire il perchè di:
[tex]\frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}} \cong \frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac{ A \cap D }{B \cap D }} \cong
\frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }{B \cap C }}[/tex].
Vorrei poi dimostrare che
[tex]\frac {D+ \left( A \cap C \right) } { D+ \left( B \cap C \right) } \cong
\frac { A \cap C } { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }[/tex]
e concludendo con
[tex]\frac {D+ \left( A \cap C \right) } { D+ \left( B \cap C \right) } \cong
\frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}}[/tex].
Rivedendolo, con il terzo teorema di isomorfismo riesco a capire il perchè di:
[tex]\frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}} \cong \frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac{ A \cap D }{B \cap D }} \cong
\frac { \frac { A \cap C }{B \cap C }} { \frac { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }{B \cap C }}[/tex].
Vorrei poi dimostrare che
[tex]\frac {D+ \left( A \cap C \right) } { D+ \left( B \cap C \right) } \cong
\frac { A \cap C } { \left( B \cap C \right) + \left( A \cap D \right) }[/tex]
e concludendo con
[tex]\frac {D+ \left( A \cap C \right) } { D+ \left( B \cap C \right) } \cong
\frac { \frac {B+ \left( A \cap C \right) }{B}} { \frac {B+ \left( A \cap D \right) }{B}}[/tex].
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