Bottiglia di Klein e topologia
Topologia non è proprio la mia materia. Chi mi sa aiutare (anche solo qualche consiglio) su queste due domande?
1) Introduciamo sul quadrato $[0,1]^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$(0,t) \sim (1,t)$
$(t,0) \sim (1-t,1)$
Il quoziente $X$/$\sim$ viene chiamato Bottiglia di Klein. Costruire una funzione continua e iniettiva da $X$/$\sim$ a $RR^4$.
2) Si introduce sul quadrato $[0,1]^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$(0,t) \sim (t,1)$
$(t,0) \sim (1,t)$
Dimostrare che il relativo spazio quoziente è omeomorfo alla bottiglia di Klein.
Ahhhh non so nemmeno da dove partire!!
1) Introduciamo sul quadrato $[0,1]^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$(0,t) \sim (1,t)$
$(t,0) \sim (1-t,1)$
Il quoziente $X$/$\sim$ viene chiamato Bottiglia di Klein. Costruire una funzione continua e iniettiva da $X$/$\sim$ a $RR^4$.
2) Si introduce sul quadrato $[0,1]^2$ la seguente relazione di equivalenza:
$(0,t) \sim (t,1)$
$(t,0) \sim (1,t)$
Dimostrare che il relativo spazio quoziente è omeomorfo alla bottiglia di Klein.
Ahhhh non so nemmeno da dove partire!!
Risposte
ci provo, visto che anche io son alle prime prese con topologia...
per la 1), essendo klein un sottospazio di $RR^4$, puoi mandare esso in $RR^4$ con l'identità per esempio...
essa è sicuramente iniettiva e continua, essendo che c'è la metrica euclidea
per il punto 2) io costruirei l'omeomorfismo a mano, cioè del quadrato identificato, costruirei una mappa che va dalle coppie di classi di equivalenza nelle altre coppie, in questo modo quello che viene fuori è una mappa invertibile iniettiva e suriettiva... quindi è l'omeomorfismo cercato. Diciamo che giro i lati
esplicitamente $phi:I/-_1$$->$$I/-_2$ (con$-_i$, i=1,2 indico le relazioni di equivalenza nel primo e secondo spazio)
quindi ottieni
$phi((0,t))->(0,t)
$phi((t,1))->(1,t)
$phi((t,0))->(t,0)
$phi((1,t))->(1-t,1)
in questo modo le classi di equivalenza vengono portate le une nelle altre... è una prova, per me potrebbe andare, cosa ne pensi?
per la 1), essendo klein un sottospazio di $RR^4$, puoi mandare esso in $RR^4$ con l'identità per esempio...
essa è sicuramente iniettiva e continua, essendo che c'è la metrica euclidea
per il punto 2) io costruirei l'omeomorfismo a mano, cioè del quadrato identificato, costruirei una mappa che va dalle coppie di classi di equivalenza nelle altre coppie, in questo modo quello che viene fuori è una mappa invertibile iniettiva e suriettiva... quindi è l'omeomorfismo cercato. Diciamo che giro i lati
esplicitamente $phi:I/-_1$$->$$I/-_2$ (con$-_i$, i=1,2 indico le relazioni di equivalenza nel primo e secondo spazio)
quindi ottieni
$phi((0,t))->(0,t)
$phi((t,1))->(1,t)
$phi((t,0))->(t,0)
$phi((1,t))->(1-t,1)
in questo modo le classi di equivalenza vengono portate le une nelle altre... è una prova, per me potrebbe andare, cosa ne pensi?
Ok si potrebbe andare, il problema è che ora dovrei dimostrare che la funzione da te definita è iniettiva e suriettiva (ok per quelle potrei sapere come dimostrarlo), e sia la funzione che la sua inversa devono essere continue...come faccio a farlo?
Grazie mille cmq, forse sto iniziando a capire sta materia del .....
Per l'1): ma l'identità sei sicuro che sia iniettiva? Cioè...è pur sempre uno spazio quoziente...
Grazie mille cmq, forse sto iniziando a capire sta materia del .....
Per l'1): ma l'identità sei sicuro che sia iniettiva? Cioè...è pur sempre uno spazio quoziente...
1) l'identità che va da una bottiglia di klein all'altra, che son tutti e deu spazi di $RR^4$ se due punti son identificati nella prima bottiglia, son identificati anche nella seconda... mi pare...
l'inversa nella due è immediata, basta girare la freccia se noti anche in questo caso è suriettiva (porta tutto il quadrato nell'altro) e iniettiva (se due punti sono nella stessa classe di equivalenza, vengono scambiati e si trovano nella nuova classe di equivalenza) penso che come idea potrebbe funzionare...
edit: $phi$ è associabile a un cambio di coordinate se preso con le pinze, un cambio di coordinate è una mappa aperta, quindi... anche se secondo me fai prima a scrivare l'inversa in questo caso, vedere che le mappe sono aperte/chiuse è simpatico a volte
curiosità: dove studi?
l'inversa nella due è immediata, basta girare la freccia se noti
anche in questo caso è suriettiva (porta tutto il quadrato nell'altro) e iniettiva (se due punti sono nella stessa classe di equivalenza, vengono scambiati e si trovano nella nuova classe di equivalenza) penso che come idea potrebbe funzionare...edit: $phi$ è associabile a un cambio di coordinate se preso con le pinze, un cambio di coordinate è una mappa aperta, quindi... anche se secondo me fai prima a scrivare l'inversa in questo caso, vedere che le mappe sono aperte/chiuse è simpatico a volte
curiosità: dove studi?
A zurigo...
Ma la bottiglia di Klein non può essere sottoinsieme di $RR^3$, perché proprio $RR^4$?
Ma la bottiglia di Klein non può essere sottoinsieme di $RR^3$, perché proprio $RR^4$?
perchè è in $RR^4$ che vive klein se non erro, quando identifichi i due differenti lati del quadrato, per tenere insieme tutto deve esserci uno spazio in 4 dimensioni, se no la bottiglia si buca (cerca le immagini di internet della bottiglia di klein...) ... invece non è così... o erro?
Rappresentazioni pittoriche a parte, come si può dimostrare che quello spazio quoziente non può essere considerato un sottoinsieme di $\RR^3$? Non sono riuscito a trovare una risposta cercando un po' in giro.
una dimostrazione rigorosa non mi viene in mente su due piedi (anche perchè non so se sarei in grado di farla) però secondo me discende dal fatto che si può ottenere klein incollando due nastri di Mobius.
fu^2: wikipedia ti dà ragione 
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein
Eredir: forse dovresti dimostrare (non so come), che in tre dimensioni non è possibile costruire una cosa del genere in quanto ciò implicherebbe fare un buco nella bottiglia di Klein. Proverò a chiedere a qualcuno più esperto...
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein
Eredir: forse dovresti dimostrare (non so come), che in tre dimensioni non è possibile costruire una cosa del genere in quanto ciò implicherebbe fare un buco nella bottiglia di Klein. Proverò a chiedere a qualcuno più esperto...
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