Blocchi di Jordan
Buonasera, ho dei dubbi su questo esercizio:
sia $A=$$((4,0,0,0),(1,4,0,0),(1,0,4,0),(0,2,1,1))$ una matrice a coefficienti in un campo $F$
Determinare la forma canonica di Jordan di $A$ al variare della caratteristica di $F$.
Non ho ben compreso cosa sia la caratteristica $Char(F)$ e come si fa a determinarla: in particolare, calcolato il polinomio caratteristico $(x-4)^3(x-1)$, non mi è chiaro perchè gli autovalori $1$ e $4$ sono in dipendenza dalla caratteristica di F e quindi potrebbero non essere distinti.
Inoltre come mai se $Char(F)!=3$ (da dove lo si trova $3$?) gli autovalori $1$ e $4$ sono di molteplicità algebrica $3$ e $1$ rispettivamente, mentre se $Char(F)=3$ l’unico autovalore è $1$ di molteplicità algebrica $4$ ?
Grazie mille
sia $A=$$((4,0,0,0),(1,4,0,0),(1,0,4,0),(0,2,1,1))$ una matrice a coefficienti in un campo $F$
Determinare la forma canonica di Jordan di $A$ al variare della caratteristica di $F$.
Non ho ben compreso cosa sia la caratteristica $Char(F)$ e come si fa a determinarla: in particolare, calcolato il polinomio caratteristico $(x-4)^3(x-1)$, non mi è chiaro perchè gli autovalori $1$ e $4$ sono in dipendenza dalla caratteristica di F e quindi potrebbero non essere distinti.
Inoltre come mai se $Char(F)!=3$ (da dove lo si trova $3$?) gli autovalori $1$ e $4$ sono di molteplicità algebrica $3$ e $1$ rispettivamente, mentre se $Char(F)=3$ l’unico autovalore è $1$ di molteplicità algebrica $4$ ?
Grazie mille
Risposte
La domanda stava meglio in Geometria, fwiw.
La caratteristica di un campo è il più piccolo numero di uni che puoi sommare prima di ottenere lo zero (se non puoi ottenere \( 0 \) sommando tanti \( 1 \) il campo ha caratteristica zero).
Detto meglio: dato un anello \( R \), il nucleo dell’unico omomorfismo di anelli \( \mathbb Z\to R \) è della forma \( (n) \) per un unico \( n\geqq 0 \); questo ragazzo è la caratteristica di \( R \).
Ora?
La caratteristica di un campo è il più piccolo numero di uni che puoi sommare prima di ottenere lo zero (se non puoi ottenere \( 0 \) sommando tanti \( 1 \) il campo ha caratteristica zero).
Detto meglio: dato un anello \( R \), il nucleo dell’unico omomorfismo di anelli \( \mathbb Z\to R \) è della forma \( (n) \) per un unico \( n\geqq 0 \); questo ragazzo è la caratteristica di \( R \).
Ora?
Questa definizione l'ho trovata anche sul mio testo ma non riesco a collegarmi al valore $3$ e al perché se $Char(F)=3$ allora l'unico autovalore è $1$.
Se prendi un campo \( k \) e capita che \( k \) non è né Q né R né C, che cosa è “4”?
Una classe di resto?
No, la risposta non è quella.
Perché mi sto trovando molto spaesato dalla teoria alla pratica!
Ovvero nella pratica, come questo caso perché $Char(F)=3$ ? Cioè che calcolo (forse banale) viene fatto per ottenere tale valore?
Ovvero nella pratica, come questo caso perché $Char(F)=3$ ? Cioè che calcolo (forse banale) viene fatto per ottenere tale valore?
"marco2132k":
No, la risposta non è quella.
4 cosa può essere non mi viene in mente, nel senso; se non siamo in C, R, o Q allora o siamo in Z oppure non mi viene in mente nessuno campo in cui 4 possa avere senso di esistere
[ot]Noo era una battuta, il senso non era quello.[/ot]
La domanda è: come definiresti \( 4 \) in un campo qualsiasi?
(Cos’altro può essere se non \( 1+\dots+1\), dove l’\(1\) è l’unità moltiplicativa del campo?)
La domanda è: come definiresti \( 4 \) in un campo qualsiasi?
(Cos’altro può essere se non \( 1+\dots+1\), dove l’\(1\) è l’unità moltiplicativa del campo?)
Eh bella domanda: cioè non saprei definire 4 in un campo qualsiasi; o meglio se $F$ è un campo, allora $F$ soddisfa determinate proprietà ma poi mi blocco
"marco2132k":
[ot]Noo era una battuta, il senso non era quello.[/ot]
La domanda è: come definiresti \( 4 \) in un campo qualsiasi?
(Cos’altro può essere se non \( 1+\dots+1\), dove l’\(1\) è l’unità moltiplicativa del campo?)
Non mi viene in mente cosa possa essere $1+....+1$ ?
Cioè non riesco a riconnettere la teoria alla mera pratica
"marco2132k":
No, la risposta non è quella.
Ho provato a pensarci questa notte ma non ci sono riuscito!
Teoria alla mano non riesco a passare alla pratica: infatti ho la definizione di $Char$ ma poi in questo esempio non capisco come ottenere $3$? Da dove maledettamente esce?
Allo stesso modo perché se la $Char(F)=3$ allora sostanzialmente $4=1$?
Mentre se $Char(F)!=3$ tutto fila liscio come in Algebra lineare( o quasi) ?
Tra poco ho l'esame e speravo che queste cose mi fossero più chiare!
Grazie
Alex, pensa ai numeri naturali e lascia stare il resto per un momento.
Cosa è $4$ in $NN$?
Cosa è $4$ in $NN$?
È un elemento che indica una "quantità" o un ordine e si può ottenere come somma o differenza di altri numeri interi.
Spero di aver detto correttamente
Spero di aver detto correttamente
"gugo82":
Alex, pensa ai numeri naturali e lascia stare il resto per un momento.
Cosa è $4$ in $NN$?
Perché continuando a sbatterci la testa (come spesso mi ha spronato a fare) sono giunto a capire che : $4=1$ sse $3=0$ e poiché se $Char(F)=p$ con p primo allora $F~(ZZ)/p$ dunque deve essere che $Char(p) "divide" 3$ e dunque necessariamente deve essere $Char(F)=3$
Ma ora supponendo corretto il mio ragionamento mi viene un solo dubbio: se avessi un polinomio caratteristico con $lambda_1=11$ e $lambda_2=5$ allora $11=5$ sse $6=0$ e dunque in questo caso la $Char(F)=5$.
Ho capito correttamente?
Grazie
Ah ho capito cosa non ti è chiaro.
Determinare la caratteristica di K non è la consegna dell’esercizio (d’altronde come potrebbero chiederti una cosa del genere?? non sai nulla su K); si vuole che tu scriva la jcf di quella matrice al variare di char K.
Hai detto che il polinomio caratteristico di A è quella cosa lì; al variare di char K, quali sono i suoi zeri?
Se non ti è chiaro ancora, rileggi con attenzione quello che ti si scrive. Hola
Determinare la caratteristica di K non è la consegna dell’esercizio (d’altronde come potrebbero chiederti una cosa del genere?? non sai nulla su K); si vuole che tu scriva la jcf di quella matrice al variare di char K.
Hai detto che il polinomio caratteristico di A è quella cosa lì; al variare di char K, quali sono i suoi zeri?
Se non ti è chiaro ancora, rileggi con attenzione quello che ti si scrive. Hola
"marco2132k":
Ah ho capito cosa non ti è chiaro.
Determinare la caratteristica di K non è la consegna dell’esercizio (d’altronde come potrebbero chiederti una cosa del genere?? non sai nulla su K); si vuole che tu scriva la jcf di quella matrice al variare di char K.
Hai detto che il polinomio caratteristico di A è quella cosa lì; al variare di char K, quali sono i suoi zeri?
Se non ti è chiaro ancora, rileggi con attenzione quello che ti si scrive. Hola
Ho scritto sopra il mio ragionamento: è corretto? Oppure sono fuori strada?
Grazie
"Aletzunny":
È un elemento che indica una "quantità" o un ordine e si può ottenere come somma o differenza di altri numeri interi.
Spero di aver detto correttamente
Alex, ma prova ad essere concreto ogni tanto... Se un bambino per strada ti chiedesse cos'è $4$, gli risponderesti così?
Io gli direi: guarda, oh bimbo (che il vocativo fa sempre figo), $4 = 1+1+1+1$.
Dunque, se il tuo campo $mathbb(F)$ ha caratteristica $3$ hai $4_mathbb(F) = 1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) =1_mathbb(F)$[nota]Perché $1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) = 0_mathbb(F)$.[/nota] e perciò in caratteristica $3$ gli autovalori non sono distinti.
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]È un elemento che indica una "quantità" o un ordine e si può ottenere come somma o differenza di altri numeri interi.
Spero di aver detto correttamente
Alex, ma prova ad essere concreto ogni tanto... Se un bambino per strada ti chiedesse cos'è $4$, gli risponderesti così?
Io gli direi: guarda, oh bimbo (che il vocativo fa sempre figo), $4 = 1+1+1+1$.
Dunque, se il tuo campo $mathbb(F)$ ha caratteristica $3$ hai $4_mathbb(F) = 1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) =1_mathbb(F)$[nota]Perché $1_mathbb(F) +1_mathbb(F) +1_mathbb(F) = 0_mathbb(F)$.[/nota] e perciò in caratteristica $3$ gli autovalori non sono distinti.[/quote]
Ok! Che $4$ fosse uguale a $1+1+1+1$ mi sembrava troppo "banale"!
Quindi fin qui ho capito! Ma per determinare il famoso valore $3$ come faccio?
Parto dagli autovalori trovati e cerco quando coincidono?
Come ho spiegato nel post precedente?
Grazie
"Aletzunny":
Ma per determinare il famoso valore 3 come faccio?
Parto dagli autovalori trovati e cerco quando coincidono?
Come ho spiegato nel post precedente?
E sì, Ale...
Perfetto! Quindi se ho capito bene parto dagli autovalori e una volta verificato quando $lambda_1=lambda_2$ allora la $Char(F)$, con $F$ campo, deve essere un primo $p$ tale che $p "divide" lambda_1-lambda_2$; se non esiste $p$ allora $Char(F)=0$ .
Ho riassunto correttamente?
Ho riassunto correttamente?
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