Bisettrici in $E^3$
Si determinino le bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti
r : $\{(x+z= 0),(y+z+1=0):}$ ed s : $ \{(x-y-1=0),(2x-z-1=0):}$.
Nel piano, questo quesito sarebbe stato altrettanto semplice, nello spazio direi di no. Potrei vedere le bisettrici come luogo dei punti dello spazio equidistanti sia da r che da s, ma c'è un problema, non è molto semplice "calcolare" la distanza di un punto qualsiasi ad una retta. Pertanto ho pensato di agire al seguente modo, anche se , non so-1,1)no pienamente convinto della correttezza del metodo.
Innanzi tutto notiamo che $(-1,-1,1)$ (1) è la terna di parametri direttori di $r$ mentre $(1,1,2)$ quella di $s$. e $P(1/3,-2/3,-1/3)$ è il punto di incidenza delle due rette.
Ho pensato alla seguente tecnica risolutiva :
Considero $\pi_1 : -2y-2z-1=0$ piano contenente $s$ parallelo a $r$ e $\pi_2 : x-y-1=0$ piano contenente r e parallelo a $s$.
E sia $Q(x,y,z) \in E^3$.
Ed impongo che $d(Q, \pi_1)=d(Q, \pi_2)$ (2)
, in questo modo mi trovo almeno due piani "equidistanti " dagli altri due e quindi dalle due rette. Le bisettrici saranno le rette che passano per $P$ e che sono contenute in tali piani.
Da (2) ho $\alpha : -6x+4y-2z+3=0$ , detto $J(1/2,0,0)$ un punto di $\alpha$ la prima bisettrice è la retta $b_1$ passante per $P$ e $J$ , cioè $b_1 : \{(-4x+3y+2=0),(y-2z=0):}$.
Ho inoltre
$\beta : 2x-4y-2z-5=0$ detto $Z(0,0,5/2)$ un punto di tale piano, l'altra bisettrice è quella per $P$ e $J$.
Confermate? Grazie mille
r : $\{(x+z= 0),(y+z+1=0):}$ ed s : $ \{(x-y-1=0),(2x-z-1=0):}$.
Nel piano, questo quesito sarebbe stato altrettanto semplice, nello spazio direi di no. Potrei vedere le bisettrici come luogo dei punti dello spazio equidistanti sia da r che da s, ma c'è un problema, non è molto semplice "calcolare" la distanza di un punto qualsiasi ad una retta. Pertanto ho pensato di agire al seguente modo, anche se , non so-1,1)no pienamente convinto della correttezza del metodo.
Innanzi tutto notiamo che $(-1,-1,1)$ (1) è la terna di parametri direttori di $r$ mentre $(1,1,2)$ quella di $s$. e $P(1/3,-2/3,-1/3)$ è il punto di incidenza delle due rette.
Ho pensato alla seguente tecnica risolutiva :
Considero $\pi_1 : -2y-2z-1=0$ piano contenente $s$ parallelo a $r$ e $\pi_2 : x-y-1=0$ piano contenente r e parallelo a $s$.
E sia $Q(x,y,z) \in E^3$.
Ed impongo che $d(Q, \pi_1)=d(Q, \pi_2)$ (2)
, in questo modo mi trovo almeno due piani "equidistanti " dagli altri due e quindi dalle due rette. Le bisettrici saranno le rette che passano per $P$ e che sono contenute in tali piani.
Da (2) ho $\alpha : -6x+4y-2z+3=0$ , detto $J(1/2,0,0)$ un punto di $\alpha$ la prima bisettrice è la retta $b_1$ passante per $P$ e $J$ , cioè $b_1 : \{(-4x+3y+2=0),(y-2z=0):}$.
Ho inoltre
$\beta : 2x-4y-2z-5=0$ detto $Z(0,0,5/2)$ un punto di tale piano, l'altra bisettrice è quella per $P$ e $J$.
Confermate? Grazie mille
Risposte
uppino!
"Kashaman":
[...] Ed impongo che $d(Q, \pi_1)=d(Q, \pi_2)$ (2) [...]
Provo a mettere in dubbio il tuo ragionamento perché fatico ad immaginare la situzione: sei sicuro che la relazione che ho quotato sia lineare (e restituisca piani)? Inoltre non capisco da dove escano
"Kashaman":
[...] almeno due piani "equidistanti " dagli altri due e quindi dalle due rette. [...]
Può essere utile sapere che nell'ordinario spazio $E_3 $ le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti ( e quindi complanari, non parallele ) sono fornite dalle seguenti formule :
\(\displaystyle P=P_o+t(l\pm l',m\pm m',n\pm n') \)
dove:
\(\displaystyle P =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \) è il generico vettore di $E_3$
\(\displaystyle P_o =\begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o\end{pmatrix} \) è il vettore del punto comune alle due rette
$(l,m,n),(l',m',n') $ sono i versori direzionali delle medesime rette
[attenzione: i versori, non i vettori direzionali !]
Non essendo direttamente interessato (
), non saprei dire se tali formule possano essere utilizzate in un quesito d'esame, scavalcando bellamente (sic !) il procedimento. Tuttavia possono servire quantomeno ad una veloce verifica. Uno sviluppa l'intero procedimento, applica poi le formule e si rende conto se ha fatto bene o meno ...
\(\displaystyle P=P_o+t(l\pm l',m\pm m',n\pm n') \)
dove:
\(\displaystyle P =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \) è il generico vettore di $E_3$
\(\displaystyle P_o =\begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o\end{pmatrix} \) è il vettore del punto comune alle due rette
$(l,m,n),(l',m',n') $ sono i versori direzionali delle medesime rette
[attenzione: i versori, non i vettori direzionali !]
Non essendo direttamente interessato (
), non saprei dire se tali formule possano essere utilizzate in un quesito d'esame, scavalcando bellamente (sic !) il procedimento. Tuttavia possono servire quantomeno ad una veloce verifica. Uno sviluppa l'intero procedimento, applica poi le formule e si rende conto se ha fatto bene o meno ...
mmmh onestamente penso che il mio metodo non funziona, non riesco a immaginarlo.. ma non so dire con precisione perché.
Ho pensato ad un'altra tecnica.
Detto $P$ il punto di incidenza, considero la retta $t$ per $P$ generica e impongo che $cos(t^^r)=cos(s^^t)$.
Cioè, cerco di stabilire una relazione tra gli angoli . Secondo voi è corretta questa strada? grazie mille.
Ho pensato ad un'altra tecnica.
Detto $P$ il punto di incidenza, considero la retta $t$ per $P$ generica e impongo che $cos(t^^r)=cos(s^^t)$.
Cioè, cerco di stabilire una relazione tra gli angoli . Secondo voi è corretta questa strada? grazie mille.
Mi piace dare una dimostrazione delle formule da me suggerite sulle bisettrici.
Siano dunque ( vedi fig.) r,s le rette; u ed u' i relativi VERSORI ed infine b,b' le bisettrici richieste.
Costruiamo su u e u' il parallelogramma $P_oQRS$. Poiché u ed u' hanno modulo=1, allora tale parallelogramma è in realtà un rombo. Di tale rombo, per la regola del parallelogramma, le due diagonali $P_oR,SQ$ ( considerate come versori direzionali ), sono uguali rispettivamente a $u+u'$ e a $u-u' $. Ma, com'è noto, in un rombo le diagonali sono anche le bisettrici degli angoli che esse attraversano e dunque le rette $b=P_oR$ e $SQ$ sono bisettrici degli angoli del rombo. Ne segue che le bisettrici richieste sono la parallela per $P_o$ alla retta SQ di vettore direzionale =u-u' e la retta b di vettore direzionale =u+u'.
In conclusione le equazioni cercate sono :
$P=P_o +(u\pm u' )t$
C.V.D.
Nel caso tuo le suddette equazioni, se non ho sbagliato qualcosa, sono :
\(\displaystyle \begin{cases} x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt2\pm 1}{\sqrt 6}t \\y=-\frac{2}{3}+\frac{\sqrt2\pm 1}{\sqrt 6}t\\z=-\frac{1}{3}+\frac{-\sqrt2\pm 2}{\sqrt 6}t\end{cases} \)
Modificando opportunamente il parametro t, le equazioni si possono semplificare in :
\(\displaystyle \begin{cases} x=\frac{1}{3}+u \\y=-\frac{2}{3}+u\\z=-\frac{1}{3}+(-4\pm 3\sqrt2)u\end{cases} \)
L'alternativa che mi sovviene è quella di trasformare in maniera rigida il piano nel quale giacciono le due rette in questione in \(z=0\), e quindi di andare ad operare in un luogo "più semplice"... tuttavia mi sa che i conti non sono troppo belli.
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