Birapporto
Ciao, amici! Non riesco a capire un'espressione che trovo sul mio testo...
Fissato in uno spazio proiettivo un riferimento rispetto al quale quattro punti assegnati sono \(P_i[\lambda_i,\mu_i],i=1,...4\) il loro birapporto è\[\beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_3\\\mu_2&\mu_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_4\\\mu_2&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_3\\\mu_1&\mu_3\end{vmatrix}}\]
Quindi direi che il birapporto dei punti permutati in ordine $P_1,P_3,P_2,P_4$ sia
\(\beta(P_1,P_3,P_2,P_4)=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_2\\\mu_3&\mu_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_4\\\mu_3&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\\mu_1&\mu_2\end{vmatrix}}\),
mentre il mio testo, il Sernesi, Geometria I, dice che \(\beta(P_1,P_3,P_2,P_4)=1-\beta(P_1,P_2,P_3,P_4)\).
Qualcuno saprebbe aiutarmi a vedere come si conclude che vale l'uguaglianza seguente, sempre che sia corretta?\[1-\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_3\\\mu_2&\mu_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_4\\\mu_2&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_3\\\mu_1&\mu_3\end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_2\\\mu_3&\mu_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_4\\\mu_3&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\\mu_1&\mu_2\end{vmatrix}}\]
Grazie di cuore a tutti!
Fissato in uno spazio proiettivo un riferimento rispetto al quale quattro punti assegnati sono \(P_i[\lambda_i,\mu_i],i=1,...4\) il loro birapporto è\[\beta(P_1,P_2,P_3,P_4)=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_3\\\mu_2&\mu_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_4\\\mu_2&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_3\\\mu_1&\mu_3\end{vmatrix}}\]
Quindi direi che il birapporto dei punti permutati in ordine $P_1,P_3,P_2,P_4$ sia
\(\beta(P_1,P_3,P_2,P_4)=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_2\\\mu_3&\mu_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_4\\\mu_3&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\\mu_1&\mu_2\end{vmatrix}}\),
mentre il mio testo, il Sernesi, Geometria I, dice che \(\beta(P_1,P_3,P_2,P_4)=1-\beta(P_1,P_2,P_3,P_4)\).
Qualcuno saprebbe aiutarmi a vedere come si conclude che vale l'uguaglianza seguente, sempre che sia corretta?\[1-\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_3\\\mu_2&\mu_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_2&\lambda_4\\\mu_2&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_3\\\mu_1&\mu_3\end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_4\\\mu_1&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_2\\\mu_3&\mu_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\lambda_3&\lambda_4\\\mu_3&\mu_4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\\mu_1&\mu_2\end{vmatrix}}\]
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Trovata spiegazione [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:_Kbbp5soGOAJ:web.science.mq.edu.au/~chris/geometry/chap04.pdf+cross-ratio&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESiA8-ESsVhv8khUxFY4Grpp3U1l50gyIDMG9sT0QIlEPrzxEpE-EZG7k4Jo18aCIgGz_lcNk1pICiM1o9nOA21erryGw0sfP21y8NosIhlZokzdAeKsxc0uM8H2w0uqFt9VpzGq&sig=AHIEtbQOszu7wqn5KVQFl1whTgsni49r2w]qua[/url].
Molto interessante... e spero utile per quanti si siano posti o si pongano questa domanda.
Molto interessante... e spero utile per quanti si siano posti o si pongano questa domanda.
L'alternativa era farlo "a mano" 
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