Biolomorfismo tra un disco bucato e una corona

[aculsh]

Come mostrare che non esistono biolomorfismi dal disco bucato [tex]0<|z|<1[/tex] e la corona [tex]1<|z|<2[/tex]? Di sicuro un tale biolomorfismo sarebbe limitato intorno a zero e quindi si estenderebbe in modo olomorfo a 0, ma come proseguire?

[maurer]

Eh, appunto hai finito. Avresti in particolare un omeomorfismo, cosa impossibile perché il primo gruppo di omologia dei due oggetti è diverso!

[yellow2]

Uhmm. Il fatto che anche l'applicazione estesa sia iniettiva segue dal fatto che localmente una funzione olomorfa assomiglia a $z^n$ (e quindi in questo caso a $z$ più una costante)?

[maurer]

Mi sembra che così funzioni!

[dariuz89]

Mi intrometto in questa discussione perché ho incontrato anche io lo stesso problema senza però poter ricorrere a conoscerne sul gruppo di omologia... io dico che se esistesse una tale funzione biolomorfa, essa avrebbe una singolarità in 0. Tale singolarità può essere rimovibile, essenziale o polare. Se è rimovibile allora la funzione si potrebbe estendere ad una funzione olomorfa definita sul disco. Prima domanda: perché questo non va bene? Poi, se fosse essenziale, allora l'immagine di f sarebbe densa, assurdo. Se invece la singolarità fosse polare... cosa succede?

Grazie in anticipo

EDIT: Penso di aver (quasi) capito, se la mappa si estendesse avremo una mappa olomorfa, e dunque un omeomorfismo da uno spazio contrattile a uno non contrattile. Mi manca da convincermi appieno che in effetti sarebbe un omeomorfismo. Invece per quanto riguarda la singolarità polare essa non si può avere perché f deve essere limitata in zero, giusto?