Bilinearità e prodotto scalare

[MinatoNamikaze1]

Salve,
Il mio professore, ha definito il prodotto scalare come l'applicazione $ b:Vxx V rarr R $ che sia bilineare, simmetrica e definita positiva; però sul libro di testo[nota]Corso di Algebra Lineare (con esercizi svolti) - S. Giuffrida, A. Ragusa[/nota] [nota]Sia V un C-spazio vettoriale. Diremo che V è uno spazio con prodotto scalare se è definata una applicazione $ Vxx V rarr C $ che a due qualunque vettori u, v di V associa un numero complesso
$ (u,v)|-> u \cdot v $ che gode delle seguenti proprietà

(1) $ u\cdot v=bar(v\cdot u) ; AA u,vin V $
(2) $ v\cdot v>= 0 $ e $ v\cdot v=0hArr v=0; AA vin V $
(3') $ (au+bu')\cdot v=a(u\cdot v)+b(u'\cdot v); AA u,u',vin V,AA a,b in C $
(3'') $ v \cdot (au+bu')=bar(a) (u\cdot v)+bar(b) (u'\cdot v); AA u,u',vin V,AA a,b in C $[/nota] non urge che la f. b. s. sia anche definita positiva, anzi afferma che b può essere definita positiva, semidefinita positiva, definita negativa, semidefinita negativa.

Vorrei capire il perché di questa discordanza e, se esistono, le relative conseguenze.

[sapo931]

Dipende solo dall'autore, conta comunque che se non è richiesto che sia definito positivo, poi si vanno a studiare in particolare i casi in cui lo sia (ovvero si studiano i prodotti definiti positivi e le loro proprietà).

Nota però che le definizioni che hai dato sono differenti soprattutto per il loro codominio, infatti il tuo professore ti ha dato la definizione di prodotto scalare su $RR$, mentre il libro la da su $CC$[nota]Di solito si chiama prodotto Hermitiano[/nota]. Non puoi assumere che il prodotto scalare complesso sia definito positivo, anche perchè non puoi definire un ordinamento totale su $CC$, mentre puoi farlo su $RR$.

[dissonance]

"sapo93":Non puoi assumere che il prodotto scalare complesso sia definito positivo, anche perchè non puoi definire un ordinamento totale su $CC$, mentre puoi farlo su $RR$.

Ma è proprio per quello che uno richiede l'Hermitianità, ovvero, la proprietà $v\cdot w = \overline{w\cdot v}$. Questo garantisce che $v\cdot v$ sia uguale al suo coniugato e quindi un numero reale.

[MinatoNamikaze1]

Grazie per la delucidazione e chiedo venia per il ritardo.