Bel problema di algebra lineare.

[alvinlee881]

Sia $B$ una matrice quadrata reale di ordine $n$, tale che $(B-B^t)^n=0$, dove con $B^t$
ho indicato la trasposta di $B$. Dimostrare che $B$ è diagonalizzabile.
Buon lavoro

[ViciousGoblin]

Vedi se ti soddisfa (e se non ci sono errori ...)

Dunque $A:=B-B^t$ e' una matrice antisimmetrica e so che $A^n=0$. Se dimostro che $A=0$ allora $B$ deve essere simmetrica e quindi diagonalizzabile.

Affermo quindi che $A$ antisimmetrica e $A^n=0$ implicano $A=0$. Per dimostrarlo uso la seguente proprieta':

(*) data $A$ qualunque esistono una matrice unitaria $U$ e una matrice simmetrica $P$ tali che $A=UP$

Se in piu' $A$ e' antisimmetrica allora $PU^t=-UP$, cioe' $UP=-PU^t=-PU^{-1}$.

Supponiamo ora $n=2k$ (pari); abbiamo
$0=A^n=(UP)( UP)( UP)( UP) \cdots (UP)( UP)=UP (-PU^{-1}) UP (-PU^{-1}) \cdots UP(- PU^{-1})=(-1)^kUP^nU^{-1}$.

Ne segue $P^n=0$ da cui (essendo $P$ simmetrica) $P=0$.

Se $n=2k+1$ si trova $0=A^n=(-1)^kUP^n$ e il discorso e' lo stesso.

P.S. Penso che la proprieta' (*) sia abbastanza nota.

P.S. Se non e' tutto sbagliato allora il risultato e' vero a prescindere dal fatto' che $n$ sia l'ordine della matrice - direi che se $A$ e' antisimmetrica e una sua potenza e' zero necessariamente $A=0$

[ViciousGoblin]

Mi pare di aver trovato un'altra dim. senza usare la (*)

1) sia $A$ antisimmetrica di ordine $n$. Se $A^2=0$ allora $A=0$.
DIM. Per induzione su $n$. Il caso $n=1$ e' banale (l'unica matrice antisimmetrica di ordine 1 e' la matrice nulla).
Passiamo da $n$ a $n+1$ Data $A$ di ordine $n+1$ posso scrivere
$A=((0,V^t),(-V,A_1))$ dove $V$ e' un vettore $n$ dimensionale e $A_1$ e' una matrice di ordine $n$ antisimmetrica. Allora
$A^2=((-||V||^2,(A_1V)^t),(-A_1V, A_1^2))$
Se $A^2=0$ ne segue $V=0$ da cui $A_1^2=0$ e per induzione $A_1=0$; il tutto implica $A=0$. Q.E.D.

2) sia $A$ antisimmetrica e $k$ un intero. Se $A^{2k}=0$ allora $A=0$.
DIM. Notiamo che $A^2$ e' simmetrica. Allora
$0=A^{2k}=(A^2)^k$ da cui $A^2=0$ (simmetria di $A^2$).
Per il punto 1) si ha $A=0$ Q.E.D.

3) sia $A$ antisimmetrica e $k$ un intero. Se $A^{2k+1}=0$ allora $A=0$.
DIM. Basta notare che
$A^{2k+1}=0$ implica $A^{2k+2}=0$ e applicare il punto 2 Q.E.D.

[Studente Anonimo]

Ciao!
Io l'ho risolto col secondo procedimento indicato da ViciousGoblin.

Segnalo solo una cosa:

Per mostrare che se $A$ è reale antisimmetrica non nulla allora $A^2 ne 0$ si può procedere così: cerchiamo un vettore $v$ tale che $v^t A^2 v ne 0$; ora, ricordando che $A^t=-A$ si ha $v^t A^2 v = (v^t A)(A v) = -(v^t A)(A^t v)= -(A^t v)^t (A^t v) = -||A^t v||^2$, quindi $v^t A^2 v=0$ se e solo se $A^t v=0$. Basta quindi scegliere $v$ fuori dal nucleo di $A^t$.