Basi per i sottospazi di $R^n$

[smaug1]

Ragazzi sto studiando alcune definizioni ma sinceramente non le ho capite come si deve. Sono le seguenti:

Sia $W \subseteq$ $R^n$ un sottospazio.

i) $W = Span (v_1,v_2,...v_k)$ cioè i vettori dati sono un sistema di generatori (cosa sono i generatori?)di $W$

ii) i vettori $v_1,v_2,...v_k$ sono linearmente indipendenti (perchè?)

Il mio libro (Abeasis) prima di ciò non parla nè di generatori..potete darmi un piccolo aiuto per poter capire?

grazie ragazzi

[_prime_number]

Hai esposto male. Immagino che quella definizione sia la definizione di base per il sottospazio $W$. In tal caso il punto (ii) non è da capire, è solo da accettare perché fa parte della definizione di base, ovvero insieme di generatori linearmente indipendenti.
Il fatto che $v_1,...,v_k$ siano generatori di $W$ significa che $W={\lambda_1 v_1 + ...+\lambda_k v_k : \lambda_j\in\mathbb{R} \forall j=1,...,k}$ ovvero $W$ è formato da tutte le combinazioni lineari dei vettori $v_1,...,v_k$ (questo è il significato della notazione Span).

Paola

[smaug1]

Grazie per la disponibilità ragazzi...ricapitolando:

Uno spazio vettoriale è un insieme in cui sono definite la somma e il prodotto per uno scalare reale. Da qui si può definire cosa è una combinazione lineare cioè si possono combinare queste due operazioni per più vettori...il sottospazio vettoriale è definito allo stesso modo in pratica...

[_prime_number]

Esatto: il sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale. Il prefisso "sotto" viene usato solo per sottolineare, quando occorre, che è sottoinsieme di uno spazio vettoriale più grande.

Paola

[smaug1]

"prime_number":Esatto: il sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale. Il prefisso "sotto" viene usato solo per sottolineare, quando occorre, che è sottoinsieme di uno spazio vettoriale più grande.

Paola

Grazie Paola

e grazie Sergio!