Basi ortonormali per matrici invertibili
Ciao a tutti, potreste darmi una mano con questo esercizio?
Trovare una base ortonormale per \(\displaystyle \mathrm{Row}\ I_n \) e \(\displaystyle \mathrm{Col}\ I_n \); ripetere per ogni matrice invertibile.
Per la matrice identica è davvero banale l'esercizio, i vettori della base canonica avente dimensione \(\displaystyle n \) formano già una base ortonormale no?
Per il resto ciò che so è che ogni matrice invertibile ha necessariamente righe e colonne tutte linearmente indipendenti, questo mi sembra sufficiente per garantire almeno l'esistenza della base ortonormale in tutti questi casi, è corretto? Per calcolarla poi non ci sono problemi applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt. So che questo modo di rispondere all'esercizio non andrebbe bene in un contesto formale, per cui vi chiedo come rispondereste a questo quesito in maniera appropriata. Grazie tante dell'aiuto!
Cordialmente Cristian
Trovare una base ortonormale per \(\displaystyle \mathrm{Row}\ I_n \) e \(\displaystyle \mathrm{Col}\ I_n \); ripetere per ogni matrice invertibile.
Per la matrice identica è davvero banale l'esercizio, i vettori della base canonica avente dimensione \(\displaystyle n \) formano già una base ortonormale no?
Per il resto ciò che so è che ogni matrice invertibile ha necessariamente righe e colonne tutte linearmente indipendenti, questo mi sembra sufficiente per garantire almeno l'esistenza della base ortonormale in tutti questi casi, è corretto? Per calcolarla poi non ci sono problemi applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt. So che questo modo di rispondere all'esercizio non andrebbe bene in un contesto formale, per cui vi chiedo come rispondereste a questo quesito in maniera appropriata. Grazie tante dell'aiuto!
Cordialmente Cristian
Risposte
Chi ha scritto questo esercizio ha il senso dell'umorismo.Se $A$ è una matrice invertibile $n xx n$, mi sai dire che spazi sono $\mbox{Row}(A)$ e $\mbox{Col}(A)$? Dipendono veramente da $A$ oppure no?
"Martino":
:lol: Chi ha scritto questo esercizio ha il senso dell'umorismo.
Se $A$ è una matrice invertibile $n xx n$, mi sai dire che spazi sono $\mbox{Row}(A)$ e $\mbox{Col}(A)$? Dipendono veramente da $A$ oppure no?
Il mio prof è un tipo abbastanza simpatico ahahaha, quindi se ho ben capito quando \(\displaystyle A \in \mathbb{K}^{n,n} : \det A \neq 0 \Leftrightarrow \left[\mathrm{Row}(A) = \mathbb{K}^{1,n}\right] \wedge \left[\mathrm{Col}(A) = \mathbb{K}^{n,1}\right]\) è esatto?
Grazie tante dell'aiuto
Sì esatto, e quindi la risposta non dipende da $A$, cioè l'esercizio ti sta chiedendo (a tutti gli effetti) di trovare una base ortonormale di [tex]\mathbb{K}^n[/tex].
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