Basi ortogonali comuni fra prodotti scalari
Salve a tutti.
Ho questa proposizione: $V$ sp. vettoriale, $\phi$ prodotto scalare degenere e $\psi$ prodotto scalare non degenere su $V$. Allora la tesi che esista una base ortogonale comune è falsa.
La tesi è falsa perchè se si prendono come prodotti scalari (espressi tramite la base canonica) su $\mathbb{R}^2$ i seguenti: $M=((0,0),(0,1))$ e $N=((0,1),(1,0))$ (rispettivamente degenere e non degenere)
si ha che ogni base ortogonale per $M$ deve contenere una base del suo stesso radicale, nella fattispecie il vettore $e_1$. Questo fa si che non essendo $N$ degenere, $e_1$ non può far parte di una sua base ortogonale, in quanto per lui sarebbe isotropo.
Non capisco perchè (e soprattutto SE) in generale dovrebbe esistere un vettore nel radicale di $\phi$ che sia isotropo per $\psi$ (comunque si prenda una base ortogonale per $\phi$)... Qualcuno che lo sa potrebbe darmi una mano per favore?
grazie mille a chi risponderà.
Ho questa proposizione: $V$ sp. vettoriale, $\phi$ prodotto scalare degenere e $\psi$ prodotto scalare non degenere su $V$. Allora la tesi che esista una base ortogonale comune è falsa.
La tesi è falsa perchè se si prendono come prodotti scalari (espressi tramite la base canonica) su $\mathbb{R}^2$ i seguenti: $M=((0,0),(0,1))$ e $N=((0,1),(1,0))$ (rispettivamente degenere e non degenere)
si ha che ogni base ortogonale per $M$ deve contenere una base del suo stesso radicale, nella fattispecie il vettore $e_1$. Questo fa si che non essendo $N$ degenere, $e_1$ non può far parte di una sua base ortogonale, in quanto per lui sarebbe isotropo.
Non capisco perchè (e soprattutto SE) in generale dovrebbe esistere un vettore nel radicale di $\phi$ che sia isotropo per $\psi$ (comunque si prenda una base ortogonale per $\phi$)... Qualcuno che lo sa potrebbe darmi una mano per favore?
grazie mille a chi risponderà.
Risposte
Intendi un vettore non nullo nel radicale di $phi$? Se il tuo prodotto scalare è definito positivo l'unico vettore isotropo è il vettore nullo, quindi la risposta alla tua domanda è no. Ma non capisco perché ti poni questa domanda. L'esempio che hai riportato mostra che in generale non esiste una base ortogonale comune. Penso si possano costruire facilmente altri esempi in dimensione maggiore di 2.
"Martino":
Intendi un vettore non nullo nel radicale di $phi$?
Sì, intendevo non nullo. Comunque visto che mi hai fatto notare che se prendo un prodotto scalare definito positivo la risposta alla mia domanda è negativa allora mi basta questa come risposta...
"Martino":
Ma non capisco perché ti poni questa domanda
Sospettavo solo che esistesse qualche relazione tra $rad(\phi)$ ed i vettori isotropi di $\psi$. Ma evidentemente non è questo il caso.
Grazie della risposta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo