Basi g-ortogonale/g-ortonormale rispetto al prodotto scalare
Salve a tutti,
Sto facendo questo esercizio per un'esame universitario e trovo delle difficoltà a risolverlo.
Il testo dice:
Sia A= $((4,-1,2),(-1,4,-1),(2,-1,4))$ , determinare gli indici di positività, negatività e nullità. Sia $g_a$ il prodotto scalare su $RR^3$ definito da $g_a$ $(X,Y)=(traspostaX)AY$ ; determinare una base $g_a$ ortogonale e, se esiste, determinare una base $g_a$ ortonormale.
Vi spiego i passaggi che ho fatto:
Innanzitutto ho calcolato gli autovalori della matrice mediante $det(lamdaI-A)$ quindi ho trovato lo spettro e ne ho individuato la molteplicità algebrica per ciascuno.
Da questi ho calcolato i corrispondenti autovettori.
Ora ho verificato che questi siano ortogonali tra loro e lo sono [ nel caso in cui non lo fossero li ortogonalizzo tramite il procedimento di Gram_Schidt ].
A questo punto li ortonormalizzo facendo per ciascuno $(v_n)/(||(v_n||)$
Chiedo soltanto se sono stati fatti errori o se ho saltato qualche passaggio.
Mi scuso per il disturbo e vi ringrazio per l'attenzione
Sto facendo questo esercizio per un'esame universitario e trovo delle difficoltà a risolverlo.
Il testo dice:
Sia A= $((4,-1,2),(-1,4,-1),(2,-1,4))$ , determinare gli indici di positività, negatività e nullità. Sia $g_a$ il prodotto scalare su $RR^3$ definito da $g_a$ $(X,Y)=(traspostaX)AY$ ; determinare una base $g_a$ ortogonale e, se esiste, determinare una base $g_a$ ortonormale.
Vi spiego i passaggi che ho fatto:
Innanzitutto ho calcolato gli autovalori della matrice mediante $det(lamdaI-A)$ quindi ho trovato lo spettro e ne ho individuato la molteplicità algebrica per ciascuno.
Da questi ho calcolato i corrispondenti autovettori.
Ora ho verificato che questi siano ortogonali tra loro e lo sono [ nel caso in cui non lo fossero li ortogonalizzo tramite il procedimento di Gram_Schidt ].
A questo punto li ortonormalizzo facendo per ciascuno $(v_n)/(||(v_n||)$
Chiedo soltanto se sono stati fatti errori o se ho saltato qualche passaggio.
Mi scuso per il disturbo e vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
L'esercizio non e' trovare una base ortonormale di autovettori per $A$ (la base che hai trovato e' ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, a priori non rispetto a $g_a$). Devi trovare una base di $\mathbb{R}^3$ che sia ortonormale rispetto a $g_a$.
Dal momento che la tua $A$ e' definita positiva, devi semplicemente prendere una base di $\mathbb{R}^3$ e ortonormalizzarla usando l'algoritmo di Gram-Schmidt usando il prodotto scalare $g_A$ invece che il prodotto scalare standanrd.
Dal momento che la tua $A$ e' definita positiva, devi semplicemente prendere una base di $\mathbb{R}^3$ e ortonormalizzarla usando l'algoritmo di Gram-Schmidt usando il prodotto scalare $g_A$ invece che il prodotto scalare standanrd.
Non mi è chiaro molto questo punto.
Quindi devo prendere una base di $RR^3$ che sia ortogonale rispetto a $g_a$ , perciò devo impostare il sistema lineare omogeneo determinato da $\{(4x-y+2z=0),(-x+4y-z=0),(2x-y+4z=0):}$ .
Trovo 3 vettori linearmente indipendenti che formano una base e procedo con Gram-Schmdit e poi ortonormalizzo dividendo per la norma.
Non credo sia corretto come ho proceduto, se ho commesso degli errori posso sapere dove ho sbagliato e cosa devo fare per correggermi.
Grazie ancora e scusate il disturbo
Quindi devo prendere una base di $RR^3$ che sia ortogonale rispetto a $g_a$ , perciò devo impostare il sistema lineare omogeneo determinato da $\{(4x-y+2z=0),(-x+4y-z=0),(2x-y+4z=0):}$ .
Trovo 3 vettori linearmente indipendenti che formano una base e procedo con Gram-Schmdit e poi ortonormalizzo dividendo per la norma.
Non credo sia corretto come ho proceduto, se ho commesso degli errori posso sapere dove ho sbagliato e cosa devo fare per correggermi.
Grazie ancora e scusate il disturbo
Non devi risolvere nessun sistema.
Prendi una base di $\mathbb{R}^3$, ad esempio $e_1,e_2,e_3$ (la base canonica) e ortonormalizzala con Gram-Schmidt.
Il primo passo sarebbe:
Prendiamo $e_1$. Quale e' la sua norma rispetto a $g_a$? Abbiamo $g_a(e_1,e_1) = 4$, quindi $v_1 = \frac{1}{4} e_1$ e' normalizzato rispetto a $g_a$. [EDIT: Errore: $g_a(e_1,e_1) = 4$ quindi $v_1 = \frac{1}{\sqrt{4}} e_1 = \frac{1}{2} e_1$]
Ora prendiamo $e_2$; Gram-Schimdt dice di togliere da $e_2$ la componente nella direzione di $v_1$; quindi definiamo $u_2 = e_2 - g_a(e_2,v_1) v_1$ e poi $v_2 = \frac{1}{g_a(u_2,u_2)} u_2$.
E cosi' via.
Prendi una base di $\mathbb{R}^3$, ad esempio $e_1,e_2,e_3$ (la base canonica) e ortonormalizzala con Gram-Schmidt.
Il primo passo sarebbe:
Prendiamo $e_1$. Quale e' la sua norma rispetto a $g_a$? Abbiamo $g_a(e_1,e_1) = 4$, quindi $v_1 = \frac{1}{4} e_1$ e' normalizzato rispetto a $g_a$. [EDIT: Errore: $g_a(e_1,e_1) = 4$ quindi $v_1 = \frac{1}{\sqrt{4}} e_1 = \frac{1}{2} e_1$]
Ora prendiamo $e_2$; Gram-Schimdt dice di togliere da $e_2$ la componente nella direzione di $v_1$; quindi definiamo $u_2 = e_2 - g_a(e_2,v_1) v_1$ e poi $v_2 = \frac{1}{g_a(u_2,u_2)} u_2$.
E cosi' via.
Mi torna fino ad $u_1$.
Non capisco perchè non sia $v_2 = 1/(g_a (e_2,e_2)) e_2$ e $u_2 = v_2 - ((v_2 u_1)/(u_1 u_1)) u_1$ .
Non capisco i passaggi che sono stati fatti.
Il procedimento di Gram-Schmidt è del tipo:
$u_1 = v_1$ ; $u_2 = v_2 - ((v_2 u_1)/(u_1 u_1)) u_1$ ; ...
La ringrazio ancora
Non capisco perchè non sia $v_2 = 1/(g_a (e_2,e_2)) e_2$ e $u_2 = v_2 - ((v_2 u_1)/(u_1 u_1)) u_1$ .
Non capisco i passaggi che sono stati fatti.
Il procedimento di Gram-Schmidt è del tipo:
$u_1 = v_1$ ; $u_2 = v_2 - ((v_2 u_1)/(u_1 u_1)) u_1$ ; ...
La ringrazio ancora
Quello che hai scritto e' l'algoritmo di Gram Schmidt con il prodotto scalare standard (e senza normalizzazioni).
Io non ho definito nessun $u_1$; se vogliamo, nelle notazioni del post precedente, $u_1 = e_1$. Pero' mi sono accorto di essermi perso una radice quadrata. La norma indotta dal prodotto scalare dovrebbe essere $\sqrt{g_a(v,v)}$ e non solo $g_a(v,v)$.
L'algoritmo di Gram-Schmidt funziona come segue, in generale. Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $\langle -,- \rangle$ un prodotto scalare (definito positivo, per definizione) su $V$. Sia $e_1,..., e_n$ una base di $V$ (non ortogonale, non normalizzata, brutta quanto vogliamo). Poniamo $u_1 = e_1$ e definiamo ricorsivamente:
\[ v_i = \frac{1}{\sqrt{\langle u_i,u_i \rangle}} u_i \\
u_{i+1} = e_{i+1} - \sum_{j=1}^i \langle e_{i+1},v_j \rangle v_j.
\]
Ti torna? Se non ti torna qui c'e' qualche dettaglio.
Ora noi dobbiamo semplicemente applicare questo algoritmo considerando $V = \mathbb{R}^3$ e $\langle - , - \rangle = g_a$.
Quello che ho scritto nel post sono i primi due step, in cui calcolo $v_1$ e $u_2$.
(Non mi dare del lei che mi fai sentire adulto XD )
Io non ho definito nessun $u_1$; se vogliamo, nelle notazioni del post precedente, $u_1 = e_1$. Pero' mi sono accorto di essermi perso una radice quadrata. La norma indotta dal prodotto scalare dovrebbe essere $\sqrt{g_a(v,v)}$ e non solo $g_a(v,v)$.
L'algoritmo di Gram-Schmidt funziona come segue, in generale. Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $\langle -,- \rangle$ un prodotto scalare (definito positivo, per definizione) su $V$. Sia $e_1,..., e_n$ una base di $V$ (non ortogonale, non normalizzata, brutta quanto vogliamo). Poniamo $u_1 = e_1$ e definiamo ricorsivamente:
\[ v_i = \frac{1}{\sqrt{\langle u_i,u_i \rangle}} u_i \\
u_{i+1} = e_{i+1} - \sum_{j=1}^i \langle e_{i+1},v_j \rangle v_j.
\]
Ti torna? Se non ti torna qui c'e' qualche dettaglio.
Ora noi dobbiamo semplicemente applicare questo algoritmo considerando $V = \mathbb{R}^3$ e $\langle - , - \rangle = g_a$.
Quello che ho scritto nel post sono i primi due step, in cui calcolo $v_1$ e $u_2$.
(Non mi dare del lei che mi fai sentire adulto XD )
Ok grazie ora mi è più chiaro..
Un'unica osservazione la base ortogonale che ci chiede l'esercizio è ovviamente formata da $(u_1) ; (u_2) ; (u_3)$ ?!
Ti ringrazio ancora per tutte le spiegazioni
Un'unica osservazione la base ortogonale che ci chiede l'esercizio è ovviamente formata da $(u_1) ; (u_2) ; (u_3)$ ?!
Ti ringrazio ancora per tutte le spiegazioni
Le $u_i$ saranno ortogonali ma non necessariamente di $g_a$-norma $1$. Se li normalizzi ottieni una base $g_a$-ortonormale.
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