Basi e sottospazi
[highlight][/highlight]Ciao a tutti vorrei chiarire alcuni dubbi su una tipologia di esercizi... La traccia è la seguente:
Stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono spazi vettoriali reali e, nel caso, trovarne una base:
\(\displaystyle N(A) \), \(\displaystyle R(A) \), \(\displaystyle C(A) \) per \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix} \) e \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \)
L'esercizio è banale, lo so, ma vorrei chiarire alcuni dubbi che ho una volta per tutte... Se riduco la matrice per righe so che lo spazio delle righe non cambia, così come il nucleo della matrice, ma questo non è vero per lo spazio delle colonne giusto? Dovrei stare attento a non fare questo tipo di errore...
Ad ogni modo ho fatto così è corretto?
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle N(A) = \{\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{3,1} : A\mathrm{x}=\mathrm{0}\} = \{(-2y-3z,y,z)^T:y,z \in \mathbb{R}\} = \mathcal{L}\{(-2,1,0)^T;(-3,0,1)^T\}\)
\(\displaystyle R(A) = \mathcal{L}\{(1,2,3)\} \)
\(\displaystyle C(A) = \mathcal{L}\{(1,3)^T(2,6)^T(3,9)^T\} = \mathcal{L}\{(1,3)^T\} \)
Non ho scritto le basi perché ho già scritto questi spazi come combinazione lineare dei generatori che compongono la base... Ad ogni modo, è davvero necessario verificare che in questo caso nucleo, spazio delle righe e delle colonne siano effettivamente degli spazi? Non si chiamerebbero così altrimenti credo... Le operazioni sono definite, valgono tutte le proprietà e gli insiemi sono chiusi per somma e prodotto per scalare no? Grazie dell'aiuto!
Stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono spazi vettoriali reali e, nel caso, trovarne una base:
\(\displaystyle N(A) \), \(\displaystyle R(A) \), \(\displaystyle C(A) \) per \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix} \) e \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \)
L'esercizio è banale, lo so, ma vorrei chiarire alcuni dubbi che ho una volta per tutte... Se riduco la matrice per righe so che lo spazio delle righe non cambia, così come il nucleo della matrice, ma questo non è vero per lo spazio delle colonne giusto? Dovrei stare attento a non fare questo tipo di errore...
Ad ogni modo ho fatto così è corretto?
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle N(A) = \{\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{3,1} : A\mathrm{x}=\mathrm{0}\} = \{(-2y-3z,y,z)^T:y,z \in \mathbb{R}\} = \mathcal{L}\{(-2,1,0)^T;(-3,0,1)^T\}\)
\(\displaystyle R(A) = \mathcal{L}\{(1,2,3)\} \)
\(\displaystyle C(A) = \mathcal{L}\{(1,3)^T(2,6)^T(3,9)^T\} = \mathcal{L}\{(1,3)^T\} \)
Non ho scritto le basi perché ho già scritto questi spazi come combinazione lineare dei generatori che compongono la base... Ad ogni modo, è davvero necessario verificare che in questo caso nucleo, spazio delle righe e delle colonne siano effettivamente degli spazi? Non si chiamerebbero così altrimenti credo... Le operazioni sono definite, valgono tutte le proprietà e gli insiemi sono chiusi per somma e prodotto per scalare no? Grazie dell'aiuto!
Risposte
"LogicalCake":
... è davvero necessario verificare che ...
A rigore, per non rischiare che lo svolgimento sia giudicato incompleto, qualcosa devi scrivere. Insomma, visto che, presumibilmente, dovresti averlo trattato a lezione, si tratta di riportare, magari adattandoli, i contenuti esposti.
"LogicalCake":
... ma questo non è vero per lo spazio delle colonne giusto?
Detta così, l'impressione è che tu non sia molto consapevole. Se proprio vuoi procedere meccanicamente, invece di lavorare con le righe, lavori con le colonne:
$[[1,2,3],[3,6,9]]$
$[[1,1,3],[3,3,9]]$
$[[1,0,3],[3,0,9]]$
$[[1,0,1],[3,0,3]]$
$[[1,0,0],[3,0,0]]$
Insomma, sono procedimenti in cui le reali competenze restano, in gran parte, dietro le quinte. Spero di essermi spiegato.
Chiaro... Se volessi ad esempio eliminare eventuali colonne linearmente dipendenti per trovare una base dello spazio delle colonne, essendo che nel mio corso siamo abituati ad operare sulle righe, mi basterebbe trasporre la matrice, ridurla per righe e poi leggere opportunamente ciò che mi serve? Insomma come se alla fine operassi sulle colonne... Credo di aver capito, grazie tante
"LogicalCake":
Se volessi ...
Certamente. Del resto, se si sono compresi i concetti, le vie del Signore sono infinite. Tra l'altro, dietro le quinte:
$AA \alpha, \beta, \gamma in RR$
$[[x],[y]]=\alpha[[1],[3]]+\beta[[2],[6]]+\gamma[[3],[9]] rarr$
$rarr [[x],[y]]=\alpha[[1],[3]]+2\beta[[1],[3]]+3\gamma[[1],[3]] rarr$
$rarr [[x],[y]]=(\alpha+2\beta+3\gamma)[[1],[3]] rarr$
$rarr [[x],[y]]=\delta[[1],[3]]$
$AA \delta in RR$
"anonymous_0b37e9":
$ rarr [[x],[y]]=(\alpha+2\beta+3\gamma)[[1],[3]] rarr $
$ rarr [[x],[y]]=\delta[[1],[3]] $
Esatto, questa è la formalizzazione di quello che effettivamente penso quando faccio questo passaggio:
"LogicalCake":
\( \displaystyle C(A) = \mathcal{L}\{(1,3)^T(2,6)^T(3,9)^T\} = \mathcal{L}\{(1,3)^T\} \)
Davvero chiaro adesso, grazie tante dell'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo