Basi e insiemi generatori

[dubhe1]

Salve a tutti ragazzi!
Avrei un problema nella risoluzione di questo esercizio


Per quanto riguarda il punto (a) io credo che la base sia composta dai vettori linearmente indipendenti $ v_1,v_4,v_5 $, ma $v_5$ non è un vettore della base canonica?
Allora da qui mi sorge una domanda, posso comunque creare un'altra base con questo vettore?

Inoltre, non riesco a capire se sia condizione necessaria e sufficiente l'indipendenza lineare fra i vettori affinché questi siano una base. Non credo, perché altrimenti come si risolverebbe l'esercizio (c)?
io so che una base è costituita da vettori che
i) sono generatori
ii) sono linearmente indipendenti
quindi credo, se tutte le mie congetture sono corrette, di non aver capito come si verifica se un vettore è un generatore.
please help me!! grazie:D

[stagna1]

sono un dilettante quindi prendi la mia risposte con le pinze e i guanti di lattice.

essendo $dim V = 3$

(a) corretta la tua soluzione [infatti $det (v1,v4,v5) = 6$];
(b) una base + un qualsiasi vettore lineramente dipendente quindi anche $I$ stesso;
(c) una base di $V$ a cui togli un elemento.

mi scuso in anticipo per le boiate che sicuramente avrò scritto.