Basi e complemento ortogonale

[eeee13401]

salve sto trovando difficoltà nello svolgimento di questo esercizio siccome ho un sottospazio rappresentato da un unico vettore:
W=(0,0,0,1) sottospazio in R^4: determinare la base, le equazioni nel riferimento naturale e il suo complemento ortogonale.

[Camillo]

Tutti i vettori di $W$ sono del tipo $w = ( 0,0,0,k)$ con $k in RR$; evidentemente $ dim W =1 $ .
Le equazioni cartesiane del sottospazio $ W $ di $RR^4 $ sono:
$x=0 ; y=0 ; z=0 ; t=t $
Sai cosa è il complemento ortogonale ?

[eeee13401]

io trovo l'equazione ponendo una matrice con la base del sottospazio unita alle incognite e uguale al rango della base, solo che questa volta siccome la dimensione della base è 1, porre il rango di una matrice formata dalle inognite x,y,z,t e dal vettore 0,0,0,1 è priva di senso....

[Camillo]

Il complemento ortogonale è un sottospazio di $RR^4$ formato dai vettori chiamiamoli $u =( a,b,c ,0) $ che siano ortogonali al sottospazio $W $ . Quindi il prodotto scalare tra $w=(0,0,0,k) $ e $ u $ deve essere $0 $.
Pertanto $a,b,c $ possono essere qualunque mentre l'ultima componente di $u $ deve essere $0$.
In conclusione il sottospazio complemento ortogonale sarà dato da $ ( a,b,c,0)$ con $a,b,c in RR $.
Come prevedibile$ dim U =3 $ ed è facile trovare una base.....