Basi e cambiamenti di riferimento
SOno in crisi mistica trascendentale, allora...
Qualche anima pia mi spiga come diavolo si trasformano due basi una dall'altra.
Esempio
$B={(1,-1,0),(-1,1,1),(1,1,1)}$
$B'={(13,5,-6),(8,-10,-4),(-17,0,7)}$
Mi spiegate come trovo questa benedetta matrice del cambiamento di base.
Qualche anima pia mi spiga come diavolo si trasformano due basi una dall'altra.
Esempio
$B={(1,-1,0),(-1,1,1),(1,1,1)}$
$B'={(13,5,-6),(8,-10,-4),(-17,0,7)}$
Mi spiegate come trovo questa benedetta matrice del cambiamento di base.
Risposte
"squalllionheart":
SOno in crisi mistica trascendentale, allora...
Qualche anima pia mi spiga come diavolo si trasformano due basi una dall'altra.
Esempio
$B={(1,-1,0),(-1,1,1),(1,1,1)}$
$B'={(13,5,-6),(8,-10,-4),(-17,0,7)}$
Mi spiegate come trovo questa benedetta matrice del cambiamento di base.
se sapessi come opera l'applicazione L da uno spazio all'altro sarebbe facile applicare la formula del cambiamento di base.
senza quella non mi viene in mente nulla.
se avessi che la prima base viene trasformata nella seconda anche ci sarebbe un altro metodo più complicato.
IO so che la prima si trasforma nella seconda attraverso una matrice. Devo determinare tali coefficenti
"squalllionheart":
SOno in crisi mistica trascendentale, allora...
Qualche anima pia mi spiga come diavolo si trasformano due basi una dall'altra.
Esempio
$B={(1,-1,0),(-1,1,1),(1,1,1)}$
$B'={(13,5,-6),(8,-10,-4),(-17,0,7)}$
Mi spiegate come trovo questa benedetta matrice del cambiamento di base.
Devi risolvere un sistema di 9 equazioni lineari.
Sia $A$ la matrice 3x3 incognita. Poni:
$B_1=((1),(-1),(0))$
$B_2=((-1),(1),(1))$
$B_3=((1),(1),(1))$
$B'_1=((13),(5),(-6))$
$B'_2=((8),(-10),(-4))$
$B'_3=((-17),(0),(7))$
Le nove equazioni sono
$A B_1=B'_1$
$A B_2=B'_2$
$A B_3=B'_3$
Non è proprio così, nn ci ho dormito stanotte è credo di aver risolto 
Grazie a presto.
Grazie a presto.
Ho visto che hai risolto il problema, ma dato che mi ero messo a scrivere rispondo lo stesso - vediamo se siamo arrivati alla stessa conclusione...
La matrice che cerchi deve fare questo gioco:
dati $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ trovare $x_1,x_2,x_3$ tali che $x_1((13),(5),(-6))+x_2((8),(-10),(-4))+x_3((-17),(0),(7))=xi_1((1),(-1),(0))+xi_2((-1),(1),(1))+xi_3((1),(1),(1))$
che vuol dire che il vettore espresso dalle coodinate $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ nella base $B$ ha coordinate (da trovare) $x_1.x_2.x_3$ nella base $B'$.
Prendiamo $\xi_1=1, \xi_2=0.\xi_3=0$ allora il problema diventa
$A x=b_1$ dove $A=((13,8,17),(5,-10,0),(-6,-4,7))$, $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $b_1=((1),(-1),(0))$ per cui $x=x'=A^{-1}b_1$ ($A$ e' invertiblile perche' le sue colonne sono una base).
Analogamente se $\xi_1=0, \xi_2=1.\xi_3=0$ si trova $x=x''=A^{-1}b_2$, dove $b_2=((-1),(1),(1))$
e se $\xi_1=0, \xi_2=0,\xi_3=1$ si trova $x=x'''=A^{-1}b_3$, dove $b_3=((1),(1),(1))$.
Per $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ generici e' chiaro dalla linearita' che $x=((x_1),(x_2),(x_3))=\xi_1 x'+xi_2 x'' +\xi_3 x'''$ cioe'
$x=M\xi$ dove $x=((x_1),(x_2),(x_3))$, $\xi=((\xi_1),(\xi_2),(\xi_3))$ e $M$ e' la matrice avente come colonne i vettori $x',x'',x'''$.
Se esamini come e' stata prodotta la matrice $M$ vedi che $M=A^{-1}A_1$ dove $A_1$ ha per colonne $b_1,b_2,b_3$, cioe' $A_1=((1,-1,1),(-1,1,1),(0,1,1))$.
La regola generale dovrebbe essere allora che presa $A$ la matrice avente come colonne i vettori della base in arrivo e $A_1$ la matrice avente come colonne i vettori della base in
partenza (scusa per la notazione), allora la matrice $M$ del cambio di base e' data da $M=A^{-1}A_1$ - se non ho sbagliato i calcoli.
Puo' darsi che si potesse fare piu' semplice ....
La matrice che cerchi deve fare questo gioco:
dati $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ trovare $x_1,x_2,x_3$ tali che $x_1((13),(5),(-6))+x_2((8),(-10),(-4))+x_3((-17),(0),(7))=xi_1((1),(-1),(0))+xi_2((-1),(1),(1))+xi_3((1),(1),(1))$
che vuol dire che il vettore espresso dalle coodinate $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ nella base $B$ ha coordinate (da trovare) $x_1.x_2.x_3$ nella base $B'$.
Prendiamo $\xi_1=1, \xi_2=0.\xi_3=0$ allora il problema diventa
$A x=b_1$ dove $A=((13,8,17),(5,-10,0),(-6,-4,7))$, $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $b_1=((1),(-1),(0))$ per cui $x=x'=A^{-1}b_1$ ($A$ e' invertiblile perche' le sue colonne sono una base).
Analogamente se $\xi_1=0, \xi_2=1.\xi_3=0$ si trova $x=x''=A^{-1}b_2$, dove $b_2=((-1),(1),(1))$
e se $\xi_1=0, \xi_2=0,\xi_3=1$ si trova $x=x'''=A^{-1}b_3$, dove $b_3=((1),(1),(1))$.
Per $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ generici e' chiaro dalla linearita' che $x=((x_1),(x_2),(x_3))=\xi_1 x'+xi_2 x'' +\xi_3 x'''$ cioe'
$x=M\xi$ dove $x=((x_1),(x_2),(x_3))$, $\xi=((\xi_1),(\xi_2),(\xi_3))$ e $M$ e' la matrice avente come colonne i vettori $x',x'',x'''$.
Se esamini come e' stata prodotta la matrice $M$ vedi che $M=A^{-1}A_1$ dove $A_1$ ha per colonne $b_1,b_2,b_3$, cioe' $A_1=((1,-1,1),(-1,1,1),(0,1,1))$.
La regola generale dovrebbe essere allora che presa $A$ la matrice avente come colonne i vettori della base in arrivo e $A_1$ la matrice avente come colonne i vettori della base in
partenza (scusa per la notazione), allora la matrice $M$ del cambio di base e' data da $M=A^{-1}A_1$ - se non ho sbagliato i calcoli.
Puo' darsi che si potesse fare piu' semplice ....
"squalllionheart":
Non è proprio così, nn ci ho dormito stanotte è credo di aver risolto
Ma sì che è così
Esatto Vicious, è cosi Non ci ho dorminto ieiri notte
Non ci ho dorminto ieiri notte
"Sidereus":
[quote="squalllionheart"]Non è proprio così, nn ci ho dormito stanotte è credo di aver risolto
Ma sì che è così[/quote]Boh io per la verita' non lo riconosco, ma potrei sbagliarmi.
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