Basi, dimensione, somma diretta di sottospazi
Ciao a tutti, avrei una domanda riguardo al seguente esercizio:
In $RR^4$, dato il sottospazio vettoriale $W_1=mathcal{L}((-1,1,5,4)(0,3,-2,1)(2,7,-16,-5))$, trovare dimensione e una base di un sottospazio $W_2$ tale che $W_1oplusW_2=RR^4$, dove $oplus$ indica la somma diretta.
Come prima cosa ho verificato se i 3 generatori di $W_1$ ne formano una base, ho trovato che sono linearmente dipendenti quindi scartandone uno, una base di $W_1$ è per esempio $B=((-1,1,5,4)(0,3,-2,1))$
Ora essendo$ dim(W_1)=2$ e $dim(RR^4)=4$ sono necessari altri $4-2=2$ vettori per completare la base di $W_1$ a $RR^4$, e quindi so gia che sarà $dim(W_2)=2$.
La mia domanda è: quale procedimento uso per scegliere tali vettori?
Io ho pensato a occhio di utilizzarne due della base canonica di $RR^4$, considerando quindi per esempio $W_2=mathcal{L}((0,0,1,0)(0,0,0,1))$. E' corretto?
In $RR^4$, dato il sottospazio vettoriale $W_1=mathcal{L}((-1,1,5,4)(0,3,-2,1)(2,7,-16,-5))$, trovare dimensione e una base di un sottospazio $W_2$ tale che $W_1oplusW_2=RR^4$, dove $oplus$ indica la somma diretta.
Come prima cosa ho verificato se i 3 generatori di $W_1$ ne formano una base, ho trovato che sono linearmente dipendenti quindi scartandone uno, una base di $W_1$ è per esempio $B=((-1,1,5,4)(0,3,-2,1))$
Ora essendo$ dim(W_1)=2$ e $dim(RR^4)=4$ sono necessari altri $4-2=2$ vettori per completare la base di $W_1$ a $RR^4$, e quindi so gia che sarà $dim(W_2)=2$.
La mia domanda è: quale procedimento uso per scegliere tali vettori?
Io ho pensato a occhio di utilizzarne due della base canonica di $RR^4$, considerando quindi per esempio $W_2=mathcal{L}((0,0,1,0)(0,0,0,1))$. E' corretto?
Risposte
Il procedimento è corretto, l'idea anche.
Per essere in somma diretta l'intersezione tra $W_1$ e $W_2$ deve essere ${0}$ e i due vettori della base canonica scelti lo permettono
Per essere in somma diretta l'intersezione tra $W_1$ e $W_2$ deve essere ${0}$ e i due vettori della base canonica scelti lo permettono
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