Basi di matrici diagonali

[motorhead]

ho ripreso i libri in mano da poco per sostenere un esame del prossimo semestre e questo è uno dei pochi esercizi che mi rimane un pò ostile, non sò perchè basta che passino un paio di mesi e dimentico praticamente tutto ciò che ho fatto di geometria

data la trasformazione lineare L rappresentata dalla matrice $[(17,10),(-30,-18)]$
individuare la base in cui L è rappresentata da una matrice diagonale

[-Veon-1]

cerchi gli autovalori, ed i rispettvi autovettori.
Se la matrice è diagonalizzabile, la matrice diagonale B è data da:
$B=S*A*S^-1$
Dove A è la tua matrice, ed S è la matrice formata dagli autovalori.

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allora come autovalori ho $lambda=2 , lambda=-3$ quindi è digonalizzabile essendo il loro numero uguale a 2 ordine della matrice.
Gli autovettori: per $lambda=2 $ è $(-2/3alpha,alpha)$ e per $lambda=-3$ è $(beta,-2beta)$

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$S$ deve esser formata dagli autovettori mi pare

[motorhead]

allora vale $Av_k=lambda_kv_k $ per $[(17,10),(-30,-18)]*[(-2/3),(1)]=[(-4/3),(2) ]=2*[(-2/3),(1)] $

e $[(17,10),(-30,-18)]*[(1),(-2)]=[(-3),(6)]=-3*[(1),(-2)]$

quindi la matrice del cambiamento di base è data appunto dai due autovettori incolonnati $S=[(-2/3,1),(1,-2)]$
$S$ diagonalizza $A$ in base al calcolo $S^-1*A*S=[(2,1),(1,2/3)]*[(17,10),(-30,-18)]*[(-2/3,1),(1,-2)]=[(-2/3,0),(0,1)]$ che è diagonale, così dovrebbe andare credo