Basi di $F_3^2$
Salve ragazzi,
sto facendo dei calcoli ma gira e rigira finisco sempre allo stesso punto.
Tutte le basi di $F_3^2$ devono avere 2 vettori e quante dovrebbero essere?
${(0,1),(1,0)}$
${(1,0),(1,1)}$
${(0,1),(1,1)}$
${(2,2),(0,1)}$
${(2,2),(1,0)}$
${(2,2),(2,0)}$
${(2,2),(0,2)}$
${(0,2),(1,1)}$
${(2,0),(1,1)}$
${(1,2),(2,0)}$
${(1,2),(0,2)}$
${(2,1),(0,2)}$
${(2,1),(2,0)}$
${(0,1),(2,0)}$
${(1,0),(0,2)}$
è giusto?'
sto facendo dei calcoli ma gira e rigira finisco sempre allo stesso punto.
Tutte le basi di $F_3^2$ devono avere 2 vettori e quante dovrebbero essere?
${(0,1),(1,0)}$
${(1,0),(1,1)}$
${(0,1),(1,1)}$
${(2,2),(0,1)}$
${(2,2),(1,0)}$
${(2,2),(2,0)}$
${(2,2),(0,2)}$
${(0,2),(1,1)}$
${(2,0),(1,1)}$
${(1,2),(2,0)}$
${(1,2),(0,2)}$
${(2,1),(0,2)}$
${(2,1),(2,0)}$
${(0,1),(2,0)}$
${(1,0),(0,2)}$
è giusto?'
Risposte
Cosa intendi con \(\displaystyle F_3^2 \)?
Per [tex]\mathbb{F}_3^2[/tex] si intende lo spazio vettoriale di dimensione 2 su [tex]\mathbb{F}_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0,1,2\}[/tex] di tutte le coppie [tex](a,b)[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb{F}_3[/tex].
Ci sono anche
[tex]\{(0,1),(2,2)\}[/tex]
[tex]\{(0,1),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(0,1),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,0),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,0),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(1,1),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,1),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(2,2),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(2,2),(2,1)\}[/tex]
Sono 24 in totale. Dei [tex]\binom{8}{2} = 28[/tex] possibili insiemi di due vettori non nulli devi togliere i quattro della forma [tex]\{v,2v\}[/tex].
Ci sono anche
[tex]\{(0,1),(2,2)\}[/tex]
[tex]\{(0,1),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(0,1),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,0),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,0),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(1,1),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(1,1),(2,1)\}[/tex]
[tex]\{(2,2),(1,2)\}[/tex]
[tex]\{(2,2),(2,1)\}[/tex]
Sono 24 in totale. Dei [tex]\binom{8}{2} = 28[/tex] possibili insiemi di due vettori non nulli devi togliere i quattro della forma [tex]\{v,2v\}[/tex].
ok! E nel caso volessi generalizzare per spazi vettoriali di dimensione $n$ su $F_p$?
Devo applicare sempre $((p^n-1),(2))$? e come tolgo le coppie ${v,2v}$? mi sono accorta di questa cosa ma non riesco a ricondurmi al caso generale!
Devo applicare sempre $((p^n-1),(2))$? e come tolgo le coppie ${v,2v}$? mi sono accorta di questa cosa ma non riesco a ricondurmi al caso generale!
Le basi ordinate le ottieni scegliendo il primo vettore non nullo, poi il secondo che non sia multiplo del precedente, poi il terzo che non sia combinazione lineare dei primi due e via dicendo, quindi ci sono esattamente
[tex](p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]
basi ordinate. Ad ogni base non ordinata corrispondono [tex]n![/tex] basi ordinate, quindi il numero di basi non ordinate (cioè quello che chiedi tu) è
[tex]\frac{1}{n!} (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]
In particolare [tex]n![/tex] divide [tex](p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]. Curioso, chissà come si dimostra questa cosa senza usare l'algebra lineare.
[tex](p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]
basi ordinate. Ad ogni base non ordinata corrispondono [tex]n![/tex] basi ordinate, quindi il numero di basi non ordinate (cioè quello che chiedi tu) è
[tex]\frac{1}{n!} (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]
In particolare [tex]n![/tex] divide [tex](p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1})[/tex]. Curioso, chissà come si dimostra questa cosa senza usare l'algebra lineare.
Grazie, hai ragione. Facendo attenzione...ora mi accorgo che hai ragione! 
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