Basi a intersezione vuota

[KatieP]

Mi viene chiesto di calcolare sue basi di un sottospazio a intersezione vuota. Per trovare la seconda base una volta determinata la prima, è sufficiente prendere dei vettori proporzionali a quelli della prima base? Ad esempio se la mia prima base di un sottospazio di R^2 è (1,1) e (2,3) è giusto prendere come seconda base (2,2) (4,6)? Oppure c'è un metodo più elegante per trovare due basi a intersezione vuota?

[feddy]

Prendere vettori proporzionali proprio non funziona. Indentificano la stessa base, stai solamente scalando i vettori di un multiplo in questo modo.

Intersezione vuota vuol dire che se pigli un vettore che si scrive come combinazione di una e anche dell'altra, lui è proprio il vettore nullo.

Prova in $RR^2$, i conti non sono lunghi

[KatieP]

È giusto prendere come seconda base allora una combinazione lineare dei vettori della prima base? Ad esempio (3,4) e (4,5)?

[feddy]

Usando la formula di Grassmann hai nel tuo caso appena citato: $dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(UcapV)$, con $U={((1),(1));((2),(3))} e V={((3),(4));((4),(5))}$: $2=2+2-X$, da cui ricavi che la dimensione dell'intersezione è $X=2!=0$.
Evidentemente non è la strada giusta.

Più che altro stai generando già tutto $RR^2$ con la prima base.

[KatieP]

Il fatto è che qualunque altra scelta sarebbe linearmente dipendente dalla prima base . E poi, dal tuo esempio, la formula di Grassman si può applicare anche per un solo sottospazio ?

[KatieP]

Non mi sta chiedendo di calcolare sottospazi a intersezione di dimensione 0, ma basi a intersezione vuota. Quindi penso si riferisca alle basi come insiemi di vettori..mi sbaglio?

[feddy]

"nereide":Non mi sta chiedendo di calcolare sottospazi a intersezione di dimensione 0, ma basi a intersezione vuota.

"nereide":Mi viene chiesto di calcolare sue basi di un sottospazio a intersezione vuota.

Si ma l'unico sottospazio di dimensione $0$ è proprio $langle vec0 rangle$.

Mettiamoci in $RR^3$, così magari viene meglio:

Prendiamo $B={vece_1,vece_2}$ e $V={vec e_3}$.

Sono entrambi sottospazi di $RR^3$, ma la loro intersezione come vedi è vuota(la somma è pure diretta). Quello che ho fatto è stato completare la base $B$ a una base di $RR^3$. In questo modo hai che il vettore $e_3$ della base canonica che ho aggiunto è lin indipendente rispetto ai primi due.

[KatieP]

Ma così i due sottospazi identificati dalle due basi sono diversi...l'esercizio chiede di calcolare due basi di uno stesso sottospazio a intersezione vuota tra loro