Basi

[pietro1231]

è possibile che le matrici $A=((2, 5, 0), (5, 1, 4), (0, 4, 3))$ e $B=((1, 1, -1), (1, 1, 0), (-1, 0, 0)) $ definiscano lo stesso prodotto scalare rispetto a basi diverse?
Non riesco a capire come procedere...

[Antimius]

Con opportuni cambi di base, ogni forma quadratica può essere riscritta nella forma \(\displaystyle \Phi(x)=\pm x_1^2 \pm x_2^2 \pm \dots \pm x_p^2 \) dove $p$ è il rango della matrice che definisce la forma quadratica e i segni dipendono dai segni degli autovalori della matrice (la cosiddetta segnatura).
Perciò le forme quadratiche definite da due matrici differenti sono equivalenti se le matrici hanno stessa segnatura.
Poiché una forma quadratica determina biunivocamente una forma bilineare simmetrica, lo stesso vale per queste ultime.

[pietro1231]

"Antimius":Con opportuni cambi di base, ogni forma quadratica può essere riscritta nella forma \(\displaystyle \Phi(x)=\pm x_1^2 \pm x_2^2 \pm \dots \pm x_p^2 \) dove $p$ è il rango della matrice che definisce la forma quadratica e i segni dipendono dai segni degli autovalori della matrice (la cosiddetta segnatura).
Perciò le forme quadratiche definite da due matrici differenti sono equivalenti se le matrici hanno stessa segnatura.
Poiché una forma quadratica determina biunivocamente una forma bilineare simmetrica, lo stesso vale per queste ultime.

Cioè???
Scusa se lo chiedo ma non ho capito molto...