Base spettrale per endomorfismo

[Abeduka]

Chiedo scusa se posto qualcosa di ridondante, ho effettuato già una ricerca senza ottenere una risposta utile. Mi sono imbattuto in un esercizio di cui vi posto il testo:

Calcolare una base spettrale per l'endomorfismo dello spazio vettoriale $ R_(\ \ <=2) text([x]) xx R $ definito da

$ f(p(x),alpha) := ((x+a+1)(dp)/dx(x), -(a+1)alpha) $

Ho anche la soluzione : ${(1,0,(x+a+1,0),((x+a+1)^2,0),(0,1)}$

Nonostante abbia già affrontato altri esercizi di calcolo della base spettrale di endomorfismi quella derivata mi blocca, inoltre li ho sempre incontrati con endomorfismi definiti da f in (x,y,z) quindi mi ritrovo spiazzato e vorrei chiedere qual'è il procedimento corretto per svolgere questo esercizio.
Grazie anticipatamente

[anonymous_0b37e9]

Se ho capito bene, la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base naturale dovrebbe essere questa:

$M=((0,a+1,0,0),(0,1,2(a+1),0),(0,0,2,0),(0,0,0,-(a+1)))$

Ad ogni modo, sei sicuro di aver digitato tutto correttamente?

[Abeduka]

Ho commesso solo un errore nella soluzione $ {(1,0),(x+a+1,0),((x+a+1)^2,0),(0,1)} $ , ora è corretta.

Potresti spiegarmi come hai ottenuto quella matrice?

[anonymous_0b37e9]

I vettori che compongono la base naturale sono:

$vece_1=(1,0)$ di componenti $(1,0,0,0) rarr f(vece_1)=(0,0)$ di componenti $(0,0,0,0)$

$vece_2=(x,0)$ di componenti $(0,1,0,0) rarr f(vece_2)=(x+a+1,0)$ di componenti $(a+1,1,0,0)$

$vece_3=(x^2,0)$ di componenti $(0,0,1,0) rarr f(vece_3)=((x+a+1)2x,0)$ di componenti $(0,2(a+1),2,0)$

$vece_4=(0,1)$ di componenti $(0,0,0,1) rarr f(vece_4)=(0,-(a+1))$ di componenti $(0,0,0,-(a+1))$

[Abeduka]

ok ho capito ora il ragionamento dietro la matrice, solo che provando a continuare lo svolgimento per ottenere la base spettrale non ottengo quei risultati, per caso qualcuno mi sa indicare lo svolgimento piu corretto?

[anonymous_0b37e9]

Gli autovalori e i relativi autovettori sono:

$[\lambda=0] rarr ((0,a+1,0,0),(0,1,2(a+1),0),(0,0,2,0),(0,0,0,-(a+1)))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0)) rarr vecv=((\beta),(0),(0),(0))$

$[\lambda=1] rarr ((-1,a+1,0,0),(0,0,2(a+1),0),(0,0,1,0),(0,0,0,-(a+2)))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0)) rarr vecv=(((a+1)\beta),(\beta),(0),(0))$

$[\lambda=2] rarr ((-2,a+1,0,0),(0,-1,2(a+1),0),(0,0,0,0),(0,0,0,-(a+3)))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0)) rarr vecv=(((a+1)^2\beta),(2(a+1)\beta),(\beta),(0))$

$[\lambda=-(a+1)] rarr ((a+1,a+1,0,0),(0,a+2,2(a+1),0),(0,0,a+3,0),(0,0,0,0))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0)) rarr vecv=((0),(0),(0),(\beta))$

Se $[a=-1] vv [a=-2] vv [a=-3]$ si ha un autovalore doppio. Insomma, è necessario discutere.

[Abeduka]

Potresti esplicitare il procedimento con cui ottieni i 4 vettori? Comunque ora probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma da quelli come arrivo alla soluzione? Perdonami ho dimenticato di scrivere che a è positivo

[anonymous_0b37e9]

Se $[a>0]$ non è necessaria la discussione. Ad ogni modo, per determinare, per esempio, l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=2]$, è necessario risolvere il seguente sistema, ben sapendo che solo $3$ delle $4$ equazioni sono linearmente indipendenti:

$((-2,a+1,0,0),(0,-1,2(a+1),0),(0,0,0,0),(0,0,0,-(a+3)))((x),(y),(z),(w))=((0),(0),(0),(0))$

Dalla quarta ottieni $[w=0]$, dalla seconda $[y=2(a+1)z]$, dalla terza $[x=(a+1)^2z]$. Insomma, $oo^1$ soluzioni che possono essere espresse in funzione del parametro $[\beta=z]$. Ponendo $[\beta=1]$:

$vecv=(((a+1)^2\beta),(2(a+1)\beta),(\beta),(0)) rarr vecv=(((a+1)^2),(2(a+1)),(1),(0))$

e passando dalle componenti all'elemento dello spazio vettoriale:

$((a+1)^2+2(a+1)x+x^2,0)=((x+a+1)^2,0)$