Base spettrale

[pepsi80]

Calcolare una base spettrale per l’endomorfismo f :$R^3$ → $R^3$
definito ponendo f(x, y, z) = (x + (6 − 7)y + (7 + 2)z,(7 + 2)y, x + (6 + 2)y + (7 + 2)z)

per ogni (x, y, z) ∈ $R^3$

BASE SPETTRALE ={(−7 − 2, 0, 1),(−6 − 2, 1, −6 − 1),(1, 0, 1)}

Ho calcolato:

$f(x,y,z) = (x-y+9z, 9y, x+8y+9z)$

Trasformato in matrice:
$ ( ( 1 , -1 , 9 ),( 0 , 9 , 0 ),( 1 , 8 , 9 ) ) $

Calcolato gli autovalori

$ ( ( 1-\lambda , -1 , 9 ),( 0 , 9-\lambda , 0 ),( 1 , 8 ,9-\lambda) ) $

Det = $(1-\lambda)*(9-\lambda)*(9-\lambda)-(9*(9-\lambda)) =$

$\lambda_1 = 0$
$\lambda_2 = 9$
$\lambda_3 = 10$

Sostituisco nella matrice ogni $\lambda$

$\lambda=0$

$A_1 = ( ( 1 , -1 , 9 ),( 0 , 9, 0 ),( 1 , 8 ,9) ) $

$\lambda=9$
$ A_2 =( ( -8 , -1 , 9 ),( 0 ,0 , 0 ),( 1 , 8 ,0) ) $

$\lambda=10$
$A_3 = ( ( -9 , -1 , 9 ),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 8 ,-1) ) $


Da $A_1$ ricavo $( 1,0,-1/9 )$
Da $A_2$ ricavo $( -8,1,-7 )$
Da $A_3$ ricavo $(1 , 0 , 1 )$

Però i risultati non combaciano... sapete dirmi il motivo?

[edmz]

La matrice associata (assumendo che sia definita rispetto alla base canonica di $\mathbb R^3$) all'endomorfismo non è corretta (terza coordinata della terza colonna). E sarebbe apprezzabile che completassi la formattazione.

[pepsi80]

"edmz":La matrice associata (assumendo che sia definita rispetto alla base canonica di $\mathbb R^3$) all'endomorfismo non è corretta (terza coordinata della terza colonna). E sarebbe apprezzabile che completassi la formattazione.

Avevo sbagliato a scrivere il testo dell'esercizio, avevo messo (6+2)z quando, in realtà, era (7+2)z, ho corretto. Mi dispiace però perchè non ho capito il "completassi la formattazione" :\

Inoltre mi sono reso conto che l'unico risultato che non torna sarebbe $A_1$ che ho notato che e' semplicemente il risultato diviso -9. Quindi... e' corretto il mio risultato?

[cooper1]

"pepsi80":Inoltre mi sono reso conto che l'unico risultato che non torna sarebbe A1 che ho notato che e' semplicemente il risultato diviso -9. Quindi... e' corretto il mio risultato?

il tuo risultato va benissimo. quello che hai fatto è stato esplicitare z in funzione di x mentre la soluzione ha esplicitato x in funzione di z (più comodamente per non lavorare con le frazioni). ciononostante i due risultati sono equivalenti, tieni infatti a mente che di base non ce n'è una ma ce ne sono di infinite (a meno di uno scalare moltiplicativo).

[pepsi80]

Perfetto, grazie mille!