Base spazio vettoriale
$S={A∈M_{2}x_{2}$tale che $A^(t)=-A}$ $T={((0,b),(c,d))$ tali che $ b,c,d ∈ R; c-2b+d=0}$ trovare base e dimensione di $S⋂T$, La dimensione mi viene 1, mentre ho trovato due basi una $((0,1),(-1,3))$, l'altra $((1/3,-1/3,1))$. Ne ho trovate due perchè ho svolto l'esercizio in due modi diversi, sono giuste:)?
Risposte
Manca qualcosa nella tua seconda base. Ottengo dim S = 1 ; dim T = 2
$A= (( 0,b),(-b,0)) ; T=(( 0,b),( 2b+d , d )) $ .
Cerco l'intersezione tra i due sottospazi e impongo
$ 0=0 $
$ b=b $
$ -b=2b+d $
$ 0= d $
da cui : $ b=d=0 $ quindi l'intersezione è la matrice nulla $(( 0,0),(0,0)) $
Dim $ S nnT =0 $ naturalmente S.E.O.
$A= (( 0,b),(-b,0)) ; T=(( 0,b),( 2b+d , d )) $ .
Cerco l'intersezione tra i due sottospazi e impongo
$ 0=0 $
$ b=b $
$ -b=2b+d $
$ 0= d $
da cui : $ b=d=0 $ quindi l'intersezione è la matrice nulla $(( 0,0),(0,0)) $
Dim $ S nnT =0 $ naturalmente S.E.O.
"Camillo":
Manca qualcosa nella tua seconda base. Ottengo dim S = 1 ; dim T = 2
$A= (( 0,b),(-b,0)) ; T=(( 0,b),( 2b+d , d )) $ .
Cerco l'intersezione tra i due sottospazi e impongo
$ 0=0 $
$ b=b $
$ -b=2b+d $
$ 0= d $
da cui : $ b=d=0 $ quindi l'intersezione è la matrice nulla $(( 0,0),(0,0)) $
Dim $ S nnT =0 $ naturalmente S.E.O.
Mi sono accorto ora di non aver capito come hai fatto il sistema delle intersezioni:(
Intersezione vuol dire trovare elementi comuni tra i 2 sottospazi S, T .Ho quindi imposto che gli elementi di pari posizione
nelle matrici S e T siano uguali o per quali condizioni lo sono .
Incomincio con l'elemento $ a_(11) $ nelle due matrici e scrivo quindi : $0= 0$ ok ma nulla di interessante
poi $ a_(12) : b=b $ ok vero
poi $ a_(21) : -b= 2b+d $
infine $a_(22) : 0=d $
da cui : $ d=0 ; 3b=0 ----> b=0 $
Conclusione tutti nulli $ b=d=0 $ quindi l'intersezione tra i due sottopsz è la matrice nulla , deduco che i due sottospazi non hanno nulla in comune e $dim S nn T =0 $
Che CdL stai seguendo ?
nelle matrici S e T siano uguali o per quali condizioni lo sono .
Incomincio con l'elemento $ a_(11) $ nelle due matrici e scrivo quindi : $0= 0$ ok ma nulla di interessante
poi $ a_(12) : b=b $ ok vero
poi $ a_(21) : -b= 2b+d $
infine $a_(22) : 0=d $
da cui : $ d=0 ; 3b=0 ----> b=0 $
Conclusione tutti nulli $ b=d=0 $ quindi l'intersezione tra i due sottopsz è la matrice nulla , deduco che i due sottospazi non hanno nulla in comune e $dim S nn T =0 $
Che CdL stai seguendo ?
Grazie della spiegazione, poi a casa la leggo con calma. Comunque se per cdl intendi corso di laurea, seguo ingegneria informatica!
"Camillo":
Intersezione vuol dire trovare elementi comuni tra i 2 sottospazi S, T .Ho quindi imposto che gli elementi di pari posizione
nelle matrici S e T siano uguali o per quali condizioni lo sono .
Incomincio con l'elemento $ a_(11) $ nelle due matrici e scrivo quindi : $0= 0$ ok ma nulla di interessante
poi $ a_(12) : b=b $ ok vero
poi $ a_(21) : -b= 2b+d $
infine $a_(22) : 0=d $
da cui : $ d=0 ; 3b=0 ----> b=0 $
Conclusione tutti nulli $ b=d=0 $ quindi l'intersezione tra i due sottopsz è la matrice nulla , deduco che i due sottospazi non hanno nulla in comune e $dim S nn T =0 $
Che CdL stai seguendo ?
Per esempio nel sottospazio $S=(A∈M_{2}, A^(t)=A} T={((a,b),(c,d))$tali che$ a+2b-d=0}$ la loro intersezione è
$a=d-2b$
$b=b$
$b=c$
$c=d$
quindi una base è ${((-2,1),(1,1)),((1,0),(0,0))}$ ?
"Fab996":
[quote="Camillo"]Intersezione vuol dire trovare elementi comuni tra i 2 sottospazi S, T .Ho quindi imposto che gli elementi di pari posizione
nelle matrici S e T siano uguali o per quali condizioni lo sono .
Incomincio con l'elemento $ a_(11) $ nelle due matrici e scrivo quindi : $0= 0$ ok ma nulla di interessante
poi $ a_(12) : b=b $ ok vero
poi $ a_(21) : -b= 2b+d $
infine $a_(22) : 0=d $
da cui : $ d=0 ; 3b=0 ----> b=0 $
Conclusione tutti nulli $ b=d=0 $ quindi l'intersezione tra i due sottopsz è la matrice nulla , deduco che i due sottospazi non hanno nulla in comune e $dim S nn T =0 $
Che CdL stai seguendo ?
Per esempio nel sottospazio $S=(A∈M_{2}, A^(t)=A} T={((a,b),(c,d))$tali che$ a+2b-d=0}$ la loro intersezione è
$a=d-2b$
$b=b$
$b=c$
$c=d$
quindi una base è ${((-2,1),(1,1)),((1,0),(0,0))}$ ?[/quote]
Ho sbagliato, l'ultima condizione è $d=d$!
Dunque $ S= ((a,b),(b,d)) $ infatti matrici che sono ugali alla loro trasposta sono matrici simmetriche ok ?
Nelle equazioni che hai scritto non mi torna l'ultima : non dovrebbe essere $ d=d $ invece che $c=d $ come hai scritto ?
In conclusione $a= d-2b ; b=b ; c=b ; d=d $ da cui
$S nn T = ( (d-2b, b),(b,d ))$
per cui dim $Snn T = 2 $ ci sono 2 variabili libere : $ b,d $
Una base è data da
pongo $b=1 , d=0 ----> ((-2,1),(1,0)) $
pongo $b=0 ; d=1 ---> (( 1,0),(0,1)) $
Se fosse giusta la realzione che hai posto tu cioè : $ c=d$ allora la base sarebbe fatta dalle 2 matrici che hai scritto tu .
Hai l'esame o prova in itinere presto ?
Nelle equazioni che hai scritto non mi torna l'ultima : non dovrebbe essere $ d=d $ invece che $c=d $ come hai scritto ?
In conclusione $a= d-2b ; b=b ; c=b ; d=d $ da cui
$S nn T = ( (d-2b, b),(b,d ))$
per cui dim $Snn T = 2 $ ci sono 2 variabili libere : $ b,d $
Una base è data da
pongo $b=1 , d=0 ----> ((-2,1),(1,0)) $
pongo $b=0 ; d=1 ---> (( 1,0),(0,1)) $
Se fosse giusta la realzione che hai posto tu cioè : $ c=d$ allora la base sarebbe fatta dalle 2 matrici che hai scritto tu .
Hai l'esame o prova in itinere presto ?
"Camillo":
Dunque $ S= ((a,b),(b,d)) $ infatti matrici che sono ugali alla loro trasposta sono matrici simmetriche ok ?
Nelle equazioni che hai scritto non mi torna l'ultima : non dovrebbe essere $ d=d $ invece che $c=d $ come hai scritto ?
In conclusione $a= d-2b ; b=b ; c=b ; d=d $ da cui
$S nn T = ( (d-2b, b),(b,d ))$
per cui dim $Snn T = 2 $ ci sono 2 variabili libere : $ b,d $
Una base è data da
pongo $b=1 , d=0 ----> ((-2,1),(1,0)) $
pongo $b=0 ; d=1 ---> (( 1,0),(0,1)) $
Se fosse giusta la realzione che hai posto tu cioè : $ c=d$ allora la base sarebbe fatta dalle 2 matrici che hai scritto tu .
Hai l'esame o prova in itinere presto ?
Sisi, infatti nel post dopo mi sono corretto, ho la prova intermedia a breve...
"Camillo":
Dunque $ S= ((a,b),(b,d)) $ infatti matrici che sono ugali alla loro trasposta sono matrici simmetriche ok ?
Nelle equazioni che hai scritto non mi torna l'ultima : non dovrebbe essere $ d=d $ invece che $c=d $ come hai scritto ?
In conclusione $a= d-2b ; b=b ; c=b ; d=d $ da cui
$S nn T = ( (d-2b, b),(b,d ))$
per cui dim $Snn T = 2 $ ci sono 2 variabili libere : $ b,d $
Una base è data da
pongo $b=1 , d=0 ----> ((-2,1),(1,0)) $
pongo $b=0 ; d=1 ---> (( 1,0),(0,1)) $
Se fosse giusta la realzione che hai posto tu cioè : $ c=d$ allora la base sarebbe fatta dalle 2 matrici che hai scritto tu .
Hai l'esame o prova in itinere presto ?
Una domanda se ho due vettori in $R^(2)$ e voglio verificare che sono una base, posso verificare solamente la condizione che essi siano linearmente indipendenti, e ottenere automaticamente la condizione che sono generatori e quindi base per $R$^(2)?
Se hai 2 vettori in $RR^2 $ e sono lin indip , cioè non sono uno multiplo dell'altro allora sono una Base per $RR^2 $ e naturalmente sono anche dei generatori, anzi appunto sono qualcosa di più che essere solo dei generatori ; essere una base è un requisito più stringente che essere generatori .
Una base è formata dal numero minimo di generatori naturalmente lin indip
In $ R^2 $ una base è sempre formata da 2 vettori; i generatori di $RR^2 $ possono essere formati
da 2 vettori e allora sono anche una base
da 10 vettori ad es. : è chiaro che fra questi 10 vettori ce ne saranno 2( e non possono essere più di 2 ) tra loro lin indip e gli altri saranno una comb lin dei vettori della base .ok ti è chiaro ? perché mi sembra tu abbia ancora qualchge incertezza tra base e generatori..... mi sbaglio ?
Studi alla Sapienza o Tor Vergata ?
Una base è formata dal numero minimo di generatori naturalmente lin indip
In $ R^2 $ una base è sempre formata da 2 vettori; i generatori di $RR^2 $ possono essere formati
da 2 vettori e allora sono anche una base
da 10 vettori ad es. : è chiaro che fra questi 10 vettori ce ne saranno 2( e non possono essere più di 2 ) tra loro lin indip e gli altri saranno una comb lin dei vettori della base .ok ti è chiaro ? perché mi sembra tu abbia ancora qualchge incertezza tra base e generatori..... mi sbaglio ?
Studi alla Sapienza o Tor Vergata ?
"Camillo":
Se hai 2 vettori in $RR^2 $ e sono lin indip , cioè non sono uno multiplo dell'altro allora sono una Base per $RR^2 $ e naturalmente sono anche dei generatori, anzi appunto sono qualcosa di più che essere solo dei generatori ; essere una base è un requisito più stringente che essere generatori .
Una base è formata dal numero minimo di generatori naturalmente lin indip
In $ R^2 $ una base è sempre formata da 2 vettori; i generatori di $RR^2 $ possono essere formati
da 2 vettori e allora sono anche una base
da 10 vettori ad es. : è chiaro che fra questi 10 vettori ce ne saranno 2( e non possono essere più di 2 ) tra loro lin indip e gli altri saranno una comb lin dei vettori della base .ok ti è chiaro ? perché mi sembra tu abbia ancora qualchge incertezza tra base e generatori..... mi sbaglio ?
Studi alla Sapienza o Tor Vergata ?
Penso di aver capito, quindi se ho per esempio 4 vettori in $R^(3)$, sicuramente so che sono dipendenti, però potrebbero essere un sistema di generatori(ovviamente non base), quindi devo fare un sistema e vedere se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa giusto?
Comunque Roma Tre!
Non mi è chiaro esattamente cosa vuoi dire.
Se il rango della matrice formata dai 4 vettori è 3 allora quei vettori che formano la sottomatrice 3*3 il cui det è diverso da zero sono una base per $RR^3$ , l'altro vettore sarà una comb lin dei vettori della base.
Se invece il rango è 2 allora ovviamnet non formano una base.
Se il rango della matrice formata dai 4 vettori è 3 allora quei vettori che formano la sottomatrice 3*3 il cui det è diverso da zero sono una base per $RR^3$ , l'altro vettore sarà una comb lin dei vettori della base.
Se invece il rango è 2 allora ovviamnet non formano una base.
capito!
"Camillo":
Non mi è chiaro esattamente cosa vuoi dire.
Se il rango della matrice formata dai 4 vettori è 3 allora quei vettori che formano la sottomatrice 3*3 il cui det è diverso da zero sono una base per $RR^3$ , l'altro vettore sarà una comb lin dei vettori della base.
Se invece il rango è 2 allora ovviamnet non formano una base.
Ma la dimensione di una matrice quadrata è data da $n*n$, poi se essa risulta invertibile allora i vettori riga sono indipendenti giusto?
Se hai una matrice $A$ quadrata (nxn) il numero degli elementi di cui è composta è $n^2$ ; se poi è invertibile quindi $ Det A ne 0 $ allora i vettori riga ( ma anche quelli colonna ) sono lin indip.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo