Base sottospazio vettoriale
Ciao a tutti, ho questo quesito:
Si verifichi che l'insieme ${(3,0,-1),(2,-2,0),(-1,1,1)}$ è una base dello spazio vettoriale $R^3$ sul campo $R$.
Il mio libro, come soluzione, afferma che basta verificare che i 3 vettori siano linearmente indipendenti.
La definizione di di base dice che i vettori devono essere linearmente indipendenti ma anche generare tutto lo spazio.
Ma allora non devo verificare anche quest'ultima condizione? Come mai basta verificare che sono linearmente indipendenti?
Si verifichi che l'insieme ${(3,0,-1),(2,-2,0),(-1,1,1)}$ è una base dello spazio vettoriale $R^3$ sul campo $R$.
Il mio libro, come soluzione, afferma che basta verificare che i 3 vettori siano linearmente indipendenti.
La definizione di di base dice che i vettori devono essere linearmente indipendenti ma anche generare tutto lo spazio.
Ma allora non devo verificare anche quest'ultima condizione? Come mai basta verificare che sono linearmente indipendenti?
Risposte
perché se hai due vettori linearmente indipendenti allora hai anche un isomorfismo naturale (topologicamente un omomorfismo, anche) fra il tuo spazio e lo spazio $ RR^2 $. Tale isomorfismo è l'applicazione che al vettore di componenti $ (x;y) $ nel tuo spazio associa il vettore di componenti $ (x;y) $ in $ RR^2 $. Che sia un isomorfismo, discende direttamente dalla definizione delle componenti rispetto una base.
Ma questo vale in ogni caso? Con qualsiasi insieme di vettori?
due spazi vettoriali su uno stesso campo sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Scusa ma continuo a non capire..
Come mai non devo verificare che siano generatori con tutto il procedimento?
Potrebbero essere lin. indipendenti ma non essere generatori?
Potrebbero essere lin. indipendenti ma non essere generatori?
Forse ho capito... si intende che, ad esempio, una base di $ R^2 $ è formata da 2 vettori linearmente indipendenti, una base di $ R^3 $ è formata da 3 vettori linearmente indipendenti, ecc ...
Ad esempio, se io ho 4 vettori e devo verificare che siano una base di $ R^3 $ devo averne 3 lin. indipendenti, perchè se ne ho 2 non generano tutto lo spazio, mentre se ne ho 4 "vado oltre". In questo caso i 3 vettori lin. indipendenti mi generano tutta la base perchè la dimensione è 3.
Cioè devo avere tanti vettori lin. indipendenti quanto il valore della dimensione dello spazio, in quel modo generano tutto lo spazio.
Corretto?
Ad esempio, se io ho 4 vettori e devo verificare che siano una base di $ R^3 $ devo averne 3 lin. indipendenti, perchè se ne ho 2 non generano tutto lo spazio, mentre se ne ho 4 "vado oltre". In questo caso i 3 vettori lin. indipendenti mi generano tutta la base perchè la dimensione è 3.
Cioè devo avere tanti vettori lin. indipendenti quanto il valore della dimensione dello spazio, in quel modo generano tutto lo spazio.
Corretto?
si
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo