Base per lo spazio quoziente
Per $W\subset V$, trovare una base dello spazio quoziente \(V/W\).
Sia $B_W=(w_1,...,w_m)$ una base di $W$. Tale base può sempre essere estesa con opportuni vettori ad una base di $V$, $B_V=(w_1,...,w_m,v_{m+1},...,v_n)$. Claim: una base per lo spazio quoziente è data dall'insieme $(f(v_{m+1}),...,f(v_n))$, dove $f$ è l'omomorfismo naturale \(V\to V/W\).
i) Indipendenza lineare: la relazione $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0$ implica per linearità $f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0$, ovvero che $a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n$ appartiene al kernel di $f$, $W$.
Dunque tale combinazione può essere scritta in termini dei vettori di $B_W$, da cui si ottiene $$a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n-b_1w_1-...-b_mw_m=0,$$ cioè una combinazione lineare dei vettori della base $B_V$, da cui segue che ogni coefficiente, ed in particolare gli $a_{m+1},...,a_n$, devono essere nulli.
Dubbio: sono confuso da questo fatto. In \(V/W\) $W$ è l'elemento identità $0$, ma mi sembra che se si può scrivere $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0=W$, allora questa combinazione è già un elemento di $W$... cosa mi sto perdendo?
Sia $B_W=(w_1,...,w_m)$ una base di $W$. Tale base può sempre essere estesa con opportuni vettori ad una base di $V$, $B_V=(w_1,...,w_m,v_{m+1},...,v_n)$. Claim: una base per lo spazio quoziente è data dall'insieme $(f(v_{m+1}),...,f(v_n))$, dove $f$ è l'omomorfismo naturale \(V\to V/W\).
i) Indipendenza lineare: la relazione $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0$ implica per linearità $f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0$, ovvero che $a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n$ appartiene al kernel di $f$, $W$.
Dunque tale combinazione può essere scritta in termini dei vettori di $B_W$, da cui si ottiene $$a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n-b_1w_1-...-b_mw_m=0,$$ cioè una combinazione lineare dei vettori della base $B_V$, da cui segue che ogni coefficiente, ed in particolare gli $a_{m+1},...,a_n$, devono essere nulli.
Dubbio: sono confuso da questo fatto. In \(V/W\) $W$ è l'elemento identità $0$, ma mi sembra che se si può scrivere $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0=W$, allora questa combinazione è già un elemento di $W$... cosa mi sto perdendo?
Risposte
Ciao. Non ho capito che cosa non ti è chiaro. Una base dello spazio quoziente \( V/W \) è data, come giustamente claimmi (?), dalle immagini \( \pi(v_{m+1}),\dots,\pi(v_{n}) \) dei vettori di una base \( \left\{v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n\right\} \) di \( V \) ottenuta estendendo una base \( \left\{v_1,\dots,v_m\right\} \) del sottospazio \( W \) (qui \( \pi \) è la proiezione canonica \( v\mapsto v + W \)).
Devi far vedere che se \( \sum_{i = m+1}^n\alpha_i\pi(v_i) = \left(\sum_{i = m+1}^n{\alpha_i v_i}\right) + W = W \), allora \( \alpha_i = 0 \) per \( i = m+1,\dots, n \). Nota che \( V \) si decompone nella somma diretta \( {\langle v_i\rangle}_{i = 1}^m\oplus{\langle v_i\rangle}_{i = m+1}^n \) [...].
Devi far vedere che se \( \sum_{i = m+1}^n\alpha_i\pi(v_i) = \left(\sum_{i = m+1}^n{\alpha_i v_i}\right) + W = W \), allora \( \alpha_i = 0 \) per \( i = m+1,\dots, n \). Nota che \( V \) si decompone nella somma diretta \( {\langle v_i\rangle}_{i = 1}^m\oplus{\langle v_i\rangle}_{i = m+1}^n \) [...].
A prescindere dal mio dubbio, la dimostrazione dell'indipendenza lineare che ho scritto non va già bene?
"Tonno Sfortunato":
i) Indipendenza lineare: la relazione $ a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0 $ implica per linearità $ f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0 $, ovvero che $ a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n $ appartiene al kernel di $ f $, $ W $.
Dunque tale combinazione può essere scritta in termini dei vettori di $ B_W $, da cui si ottiene \[ a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n-b_1w_1-...-b_mw_m=0, \] cioè una combinazione lineare dei vettori della base $ B_V $, da cui segue che ogni coefficiente, ed in particolare gli $ a_{m+1},...,a_n $, devono essere nulli.
A parte i simboli diversi è la stessa cosa che ho scritto io. Quindi se ho indovinato io hai fatto giusto anche tu.
\( V \) si decompone nella somma diretta \( {\langle v_i\rangle}_{i = 1}^m\oplus{\langle v_i\rangle}_{i = m+1}^n \) [...].Il motivo per cui \( a_{m+1}v_{m+1} + \dots + a_nv_n \) se sta in \( W \) fa zero è che, appunto, \( W \) e lo spazio generato da \( \left\{v_{m+1},\dots,v_n\right\} \) hanno intersezione banale. Credevo che fosse questo ciò che non ti è chiaro.
Ciao. Ci ho pensato meglio e ho superato il mio dubbio.
Per quanto riguarda il resto della dimostrazione: occorre dimostrare che ogni coset $\bar v$ può essere scritto come combinazione degli elementi $f(v_{m+1}),...,f(v_n)$. Si ha: $$\bar v=v+W=a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n+W;$$ siccome però $W$ è chiuso per somma e moltiplicazione scalare, si può scrivere $$a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n+W= \\ a_{m+1}(v_{m+1}+W)+...+a_n(v_n+W)= \\ a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n),$$ da cui si vede che tali elementi spannano \(V/W\).
Spero vada bene, anche se mi sembra un po' macchinosa come dimostrazione.
Per quanto riguarda il resto della dimostrazione: occorre dimostrare che ogni coset $\bar v$ può essere scritto come combinazione degli elementi $f(v_{m+1}),...,f(v_n)$. Si ha: $$\bar v=v+W=a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n+W;$$ siccome però $W$ è chiuso per somma e moltiplicazione scalare, si può scrivere $$a_1w_1+...+a_mw_m+a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n+W= \\ a_{m+1}(v_{m+1}+W)+...+a_n(v_n+W)= \\ a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n),$$ da cui si vede che tali elementi spannano \(V/W\).
Spero vada bene, anche se mi sembra un po' macchinosa come dimostrazione.
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