Base per l'immagine di una trasformazione lineare
Salve, vorrei sapere se è corretto questo procedimento per trovare la dimensione dell'immagine di una trasformazione lineare e quindi una sua base:
1) Prendo la matrice della trasformazione ineare
2) Faccio la trasposta
3) Riduco a scala la trasposta
4) Il rango dela matrice che ho ottenuto mi da la dimensione dell'immagine e le righe non nulle sono i vettori che formano la base per l'immagine della trasfomazione lineare.
E' corretto?
1) Prendo la matrice della trasformazione ineare
2) Faccio la trasposta
3) Riduco a scala la trasposta
4) Il rango dela matrice che ho ottenuto mi da la dimensione dell'immagine e le righe non nulle sono i vettori che formano la base per l'immagine della trasfomazione lineare.
E' corretto?
Risposte
Ciao.
Temo che il procedimento descritto non funzioni.
Quando si applica il metodo di Gauss per ridurre una matrice assegnata ad un'altra di tipo triangolare superiore, si effettua una serie di trasformazioni sulla matrice assegnata in modo tale che il rango non subisca alcun cambiamento di valore; questo procedimento, però, anche se garantisce la conservazione del rango della matrice, non garantisce che il sottospazio vettoriale generato dai vettori riga rimanga inalterato.
Esempio: consideriamo due matrici $A,B in M(2 xx 3,RR)$ così definite:
$A=((1,0,0),(0,1,2))$ e $B=((1,0,0),(0,2,1))$
La matrice $A$ può essere ottenuta dalla matrice $B$ (o viceversa) scambiando, tra loro, le ultime due colonne.
Tale trasformazione è contemplata nel procedimento di Gauss ed, infatti, è sicuramente vero che $rkA=rkB$.
Ma considerando i due spazi generati dai vettori riga di ciascuna matrice
$W_A=mathcalL((1,0,0);(0,1,2))$ e $W_B=mathcalL((1,0,0);(0,2,1))$
ci si può rendere conto che essi non coincidono tra loro, anche se hanno la stessa dimensione, fatto, quest'ultimo, garantito dalla conservazione del rango della matrice nella trasformazione $A rightarrow B$ (o $B rightarrow A$).
Effettivamente, prendendo il vettore
$(0,2,1) in W_B$
si può verificare che
$(0,2,1) notin W_A$
Dimostrazione (v. testo nascosto)
Spero di aver reso l'idea.
Saluti.
Temo che il procedimento descritto non funzioni.
Quando si applica il metodo di Gauss per ridurre una matrice assegnata ad un'altra di tipo triangolare superiore, si effettua una serie di trasformazioni sulla matrice assegnata in modo tale che il rango non subisca alcun cambiamento di valore; questo procedimento, però, anche se garantisce la conservazione del rango della matrice, non garantisce che il sottospazio vettoriale generato dai vettori riga rimanga inalterato.
Esempio: consideriamo due matrici $A,B in M(2 xx 3,RR)$ così definite:
$A=((1,0,0),(0,1,2))$ e $B=((1,0,0),(0,2,1))$
La matrice $A$ può essere ottenuta dalla matrice $B$ (o viceversa) scambiando, tra loro, le ultime due colonne.
Tale trasformazione è contemplata nel procedimento di Gauss ed, infatti, è sicuramente vero che $rkA=rkB$.
Ma considerando i due spazi generati dai vettori riga di ciascuna matrice
$W_A=mathcalL((1,0,0);(0,1,2))$ e $W_B=mathcalL((1,0,0);(0,2,1))$
ci si può rendere conto che essi non coincidono tra loro, anche se hanno la stessa dimensione, fatto, quest'ultimo, garantito dalla conservazione del rango della matrice nella trasformazione $A rightarrow B$ (o $B rightarrow A$).
Effettivamente, prendendo il vettore
$(0,2,1) in W_B$
si può verificare che
$(0,2,1) notin W_A$
Dimostrazione (v. testo nascosto)
Spero di aver reso l'idea.
Saluti.
Intendevo dire, che ad esempio ho questa trasformazione lineare:
$ R^3 ------- > R^3 $
$(x,y,z) = (z, x+y, x+y+z)$
La matrice associata alla trasformazione lineare è:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 &0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Per trovare la dimensione ed una base per l'immagine di questa trasformazione lineare faccio la trasposta di questa matrice:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
A questo punto la riduco a scala
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Questa matrice ha rango 2, quindi la dimensione dell'immagine della trasformazione lineare è 2 e le sue righe (non nulle) sono proprio i vettori che formano la sua base:
$<(1,0,1) , (0,1,1)>$
Sbaglio?
$ R^3 ------- > R^3 $
$(x,y,z) = (z, x+y, x+y+z)$
La matrice associata alla trasformazione lineare è:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 &0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Per trovare la dimensione ed una base per l'immagine di questa trasformazione lineare faccio la trasposta di questa matrice:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
A questo punto la riduco a scala
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Questa matrice ha rango 2, quindi la dimensione dell'immagine della trasformazione lineare è 2 e le sue righe (non nulle) sono proprio i vettori che formano la sua base:
$<(1,0,1) , (0,1,1)>$
Sbaglio?
Cercherò di spiegarmi con un controesempio.
Sia $f:RR^2 rightarrow RR^3$, con $f(x,y)=(y,x,2y)$.
Usando il procedimento da te proposto, ricaverei che la matrice $A$ associata a $f$ sarebbe la seguente:
$A=((0,1),(1,0),(0,2)) Rightarrow A^T=((0,1,0),(1,0,2))$
Scambiando la seconda colonna con la prima colonna della matrice $A^T$, si avrebbe una nuova matrice $A'$ (triangolare superiore) data da:
$A'=((1,0,0),(0,1,2))$
Chiaramente è vero che $dim(Imf)=rkA=rkA^T=rkA'=2$, ma il vettore $(1,0,0)$ che costituisce la prima riga della matrice $A'$ non appartiene all'immagine di $f$, quindi non può far parte di una base per $Imf$.
Infatti, supponiamo per assurdo che $(1,0,0) in Imf$; allora avremmo che dovrebbe esistere $(x,y) in RR^2$ tale che
$f(x,y)=(y,x,2y)=(1,0,0) Rightarrow {(y=1),(x=0),(2y=0):} Rightarrow {(y=1),(x=0),(y=0):}$ Assurdo.
L'esempio del tuo ultimo messaggio (a parte alcune sviste sintattiche) funzionava, ma non bastava a dimostrare che il procedimento da te proposto fosse sempre valido.
Saluti.
Sia $f:RR^2 rightarrow RR^3$, con $f(x,y)=(y,x,2y)$.
Usando il procedimento da te proposto, ricaverei che la matrice $A$ associata a $f$ sarebbe la seguente:
$A=((0,1),(1,0),(0,2)) Rightarrow A^T=((0,1,0),(1,0,2))$
Scambiando la seconda colonna con la prima colonna della matrice $A^T$, si avrebbe una nuova matrice $A'$ (triangolare superiore) data da:
$A'=((1,0,0),(0,1,2))$
Chiaramente è vero che $dim(Imf)=rkA=rkA^T=rkA'=2$, ma il vettore $(1,0,0)$ che costituisce la prima riga della matrice $A'$ non appartiene all'immagine di $f$, quindi non può far parte di una base per $Imf$.
Infatti, supponiamo per assurdo che $(1,0,0) in Imf$; allora avremmo che dovrebbe esistere $(x,y) in RR^2$ tale che
$f(x,y)=(y,x,2y)=(1,0,0) Rightarrow {(y=1),(x=0),(2y=0):} Rightarrow {(y=1),(x=0),(y=0):}$ Assurdo.
L'esempio del tuo ultimo messaggio (a parte alcune sviste sintattiche) funzionava, ma non bastava a dimostrare che il procedimento da te proposto fosse sempre valido.
Saluti.
Allora l'esempio da te proposto:
$ f: R^2 ------ > R^3
(x,y) = (y, x, 2y) $
la matrice associata alla trasformazione lineare è:
\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
faccio la trasposta di questa matrice e viene:
\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0& 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
la matrice ha rango 2, quindi la dimensione dell'immagine è 2 ed una sua base è data proprio dalle sue righe (non nulle), cioè
$B = <(0,1,0) , (1,0,2)>$
Quindi anche qui funziona.
$ f: R^2 ------ > R^3
(x,y) = (y, x, 2y) $
la matrice associata alla trasformazione lineare è:
\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
faccio la trasposta di questa matrice e viene:
\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0& 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
la matrice ha rango 2, quindi la dimensione dell'immagine è 2 ed una sua base è data proprio dalle sue righe (non nulle), cioè
$B = <(0,1,0) , (1,0,2)>$
Quindi anche qui funziona.
Ciao.
Anche volendo trascurare che la matrice associata ad un'applicazione lineare da $RR^2$ a $RR^3$ non può essere quadrata, il problema riguarda il fatto che - come dimostra il mio controesempio - le trasformazioni di una matrice secondo il metodo di Gauss, in generale, conservano il rango della matrice, ma non lo spazio generato dai vettori riga, soprattutto se avvengono scambi di colonne nella matrice trasformata.
Il fatto che una procedura funzioni in certi casi non basta per dimostrarne la fondatezza.
In matematica una proprietà è vera se è sempre vera; basta un solo controesempio che smentisca la veridicità di una proprietà ed ecco che, questa, risulta falsa.
Oltre a ciò,la matrice
$((0,1,0),(1,0,0),(0,2,0))$
senza contare la presenza di una terza colonna che non dovrebbe esistere, non è affatto associata all'applicazione
$ f:RR^2 rightarrow RR^3 $ con $ f(x,y)=(y,x,2y) $.
La "tua" matrice, semmai, è associata a quest'altra applicazione $g$:
$g:RR^3 rightarrow RR^3$ con $ f(x,y,z)=(y,x,2y)$
che non è, esattamente, l'applicazione $f$.
Saluti.
Anche volendo trascurare che la matrice associata ad un'applicazione lineare da $RR^2$ a $RR^3$ non può essere quadrata, il problema riguarda il fatto che - come dimostra il mio controesempio - le trasformazioni di una matrice secondo il metodo di Gauss, in generale, conservano il rango della matrice, ma non lo spazio generato dai vettori riga, soprattutto se avvengono scambi di colonne nella matrice trasformata.
Il fatto che una procedura funzioni in certi casi non basta per dimostrarne la fondatezza.
In matematica una proprietà è vera se è sempre vera; basta un solo controesempio che smentisca la veridicità di una proprietà ed ecco che, questa, risulta falsa.
Oltre a ciò,la matrice
$((0,1,0),(1,0,0),(0,2,0))$
senza contare la presenza di una terza colonna che non dovrebbe esistere, non è affatto associata all'applicazione
$ f:RR^2 rightarrow RR^3 $ con $ f(x,y)=(y,x,2y) $.
La "tua" matrice, semmai, è associata a quest'altra applicazione $g$:
$g:RR^3 rightarrow RR^3$ con $ f(x,y,z)=(y,x,2y)$
che non è, esattamente, l'applicazione $f$.
Saluti.
Ok, la terza colonna nulla non c'è, ma la base dell'immagine è comunque esatta.
Riporto, a titolo di promemoria, il tipo di procedimento proposto:
La risposta a questa domanda è: no, in generale non è corretto.
Infatti, se nell'applicare il punto (3) del procedimento si verificasse uno scambio di colonne nella matrice trasposta che viene ridotta a scala, i vettori riga potrebbero non formare una base di $Imf$ e questo è già stato verificato nel controesempio da me prodotto.
Poi non escludo il fatto che, applicando solo certi tipi di trasformazione (bisognerebbe, però, trovare quelli che "funzionino" sempre) in alcuni casi lo stratagemma possa funzionare, ma ciò che sostengo io è che non funziona nel cento per cento dei casi, quindi la procedura non è corretta.
Saluti.
"marco123":
Salve, vorrei sapere se è corretto questo procedimento per trovare la dimensione dell'immagine di una trasformazione lineare e quindi una sua base:
1) Prendo la matrice della trasformazione ineare
2) Faccio la trasposta
3) Riduco a scala la trasposta
4) Il rango dela matrice che ho ottenuto mi da la dimensione dell'immagine e le righe non nulle sono i vettori che formano la base per l'immagine della trasfomazione lineare.
E' corretto?
La risposta a questa domanda è: no, in generale non è corretto.
Infatti, se nell'applicare il punto (3) del procedimento si verificasse uno scambio di colonne nella matrice trasposta che viene ridotta a scala, i vettori riga potrebbero non formare una base di $Imf$ e questo è già stato verificato nel controesempio da me prodotto.
Poi non escludo il fatto che, applicando solo certi tipi di trasformazione (bisognerebbe, però, trovare quelli che "funzionino" sempre) in alcuni casi lo stratagemma possa funzionare, ma ciò che sostengo io è che non funziona nel cento per cento dei casi, quindi la procedura non è corretta.
Saluti.
Io intendo di mettere la trasposta a scala in base alle righe, le colonne non le muovo.
Per carità, può darsi che così il procedimento possa funzionare, ma la dimostrazione del procedimento (con scambi di colonne esclusi) andrebbe dimostrato a livello generale, non basta basarsi su alcuni esempi.
Vorrei provare a rifletterci anch'io, appena avrò un po' di tempo.
Comunque ribadisco che la procedura originalmente proposta all'inizio della discussione non è corretta.
Saluti.
Vorrei provare a rifletterci anch'io, appena avrò un po' di tempo.
Comunque ribadisco che la procedura originalmente proposta all'inizio della discussione non è corretta.
Saluti.
Ok, l'importante è che sono riuscito a spiegarmi. 
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