Base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard
Salve a tutti,
pongo il testo di un'esercizio di Algebra Lineare che ho svolto:
Sia A={{1,1,0},{1,1,0},{0,0,2}}, determinare autovalori e una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, costituita da autovettori di A e poi determinare gli indici di positività,... .
Procedo a svolgere l'esercizio quindi determino gli autovalori {0,2,2}, poi gli autovettori corrispondenti quindi posso scrivere una matrice 3x3 che contenga gli autovettori: {{-1,1,0},{1,1,0},{0,0,1}}.
A questo punto mi chiedo se questa matrice sia o meno una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard??
Vi ringrazio
pongo il testo di un'esercizio di Algebra Lineare che ho svolto:
Sia A={{1,1,0},{1,1,0},{0,0,2}}, determinare autovalori e una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard, costituita da autovettori di A e poi determinare gli indici di positività,... .
Procedo a svolgere l'esercizio quindi determino gli autovalori {0,2,2}, poi gli autovettori corrispondenti quindi posso scrivere una matrice 3x3 che contenga gli autovettori: {{-1,1,0},{1,1,0},{0,0,1}}.
A questo punto mi chiedo se questa matrice sia o meno una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard??
Vi ringrazio
Risposte
Prima di tutto,
questo non ha molto senso. Infatti una matrice e una base sono due cose diverse. Semmai, ci chiediamo se le colonne della matrice (che sappiamo essere una base di autovettori per la matrice $A$) sia una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard. Se lo fosse, ogni colonna dovrebbe essere prima di tutto un vettore di norma $1$ (rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare standard); ma vedi subito che la prima e la seconda colonna hanno norma $\sqrt{2}$. Quindi non di sicuro non e' ortonormale.
Magari siamo fortunati, ed e' gia' ortogonale, quindi per vincere ci basterebbe normalizzare quei vettori dividendoli per la loro norma. La teoria ci dice che la prima colonna e' di sicuro ortogonale alle altre due (e i conti lo confermano) perche' sono autovettori corrispondenti ad autovalori distinti e $A$ e' simmetrica. Quindi l'unica cosa da controllare e' che la seconda e la terza siano ortogonali. Controlliamo e vediamo che in effetti il prodotto scalare fa $0$.
Quindi per ottenere una base ortonormale di autovettori per $A$ ci normalizzare i due vettori che non hanno norma $1$.
Domanda bonus: Cosa avremmo fatto se la seconda e la terza colonna non fossero gia' state ortogonali?
A questo punto mi chiedo se questa matrice sia o meno una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard??
questo non ha molto senso. Infatti una matrice e una base sono due cose diverse. Semmai, ci chiediamo se le colonne della matrice (che sappiamo essere una base di autovettori per la matrice $A$) sia una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard. Se lo fosse, ogni colonna dovrebbe essere prima di tutto un vettore di norma $1$ (rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare standard); ma vedi subito che la prima e la seconda colonna hanno norma $\sqrt{2}$. Quindi non di sicuro non e' ortonormale.
Magari siamo fortunati, ed e' gia' ortogonale, quindi per vincere ci basterebbe normalizzare quei vettori dividendoli per la loro norma. La teoria ci dice che la prima colonna e' di sicuro ortogonale alle altre due (e i conti lo confermano) perche' sono autovettori corrispondenti ad autovalori distinti e $A$ e' simmetrica. Quindi l'unica cosa da controllare e' che la seconda e la terza siano ortogonali. Controlliamo e vediamo che in effetti il prodotto scalare fa $0$.
Quindi per ottenere una base ortonormale di autovettori per $A$ ci normalizzare i due vettori che non hanno norma $1$.
Domanda bonus: Cosa avremmo fatto se la seconda e la terza colonna non fossero gia' state ortogonali?
Grazie mille in effetti la mia domanda non aveva molto senso.
La risposta è molto chiara ma mi sfuggono nella pratica i passaggi che bisogna eseguire una volta determinati gli autovettori per determinare una base ortonormale.
Per quanto riguarda la tua domanda non saprei risponderti
La risposta è molto chiara ma mi sfuggono nella pratica i passaggi che bisogna eseguire una volta determinati gli autovettori per determinare una base ortonormale.
Per quanto riguarda la tua domanda non saprei risponderti
Beh, in questo caso siamo fortunati e gli autovettori che troviamo sono gia' ortogonali (lo verifichiamo facendo il prodotto scalare).
Per una matrice simmetrica, autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono sempre ortogonali. Si tratta di un fatto standard facile da dimostrare (se non hai mai visto la dimostrazione, prova a farlo da solo: hint: $\langle Av,w\rangle = \langle v , A^T w \rangle$ e se $A$ e' simmetrica $A = A^T$).
Se abbiamo un autospazio di dimensione piu' grande di $1$, prendiamo una base di autovettori $v_1 , ... , v_k$. Se sono gia' ortogonali (come nel caso del tuo esempio, in cui $k =2$ e i due autovettori che abbiamo gia' sono ortogonali) siamo fortunati e abbiamo finito (o almeno, abbiamo quasi finito: ci rimane da normalizzare i vettori che gia' abbiamo). Se non lo sono, bisogna applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt per ortogonalizzarli la base; sulla wiki inglese c'e' una bella animazione che spiega il processo in $\mathbb{R}^3$.
Per una matrice simmetrica, autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono sempre ortogonali. Si tratta di un fatto standard facile da dimostrare (se non hai mai visto la dimostrazione, prova a farlo da solo: hint: $\langle Av,w\rangle = \langle v , A^T w \rangle$ e se $A$ e' simmetrica $A = A^T$).
Se abbiamo un autospazio di dimensione piu' grande di $1$, prendiamo una base di autovettori $v_1 , ... , v_k$. Se sono gia' ortogonali (come nel caso del tuo esempio, in cui $k =2$ e i due autovettori che abbiamo gia' sono ortogonali) siamo fortunati e abbiamo finito (o almeno, abbiamo quasi finito: ci rimane da normalizzare i vettori che gia' abbiamo). Se non lo sono, bisogna applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt per ortogonalizzarli la base; sulla wiki inglese c'e' una bella animazione che spiega il processo in $\mathbb{R}^3$.
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