Base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico

[sogno96]

Buonasera, ho 2 problemi con 2 esercizi!

1)Trovare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard del sottospazio W di R^4 generato dai vettori
${ ( v1 = (1, 1, 0, -1) ),( v2 = (2,-1, 1, 0) ):}$
Trovare equazioni cartesiane del sottospazio U ortogonale a W.

Ho trovato la base ortonormale che è formata dai vettori:
$u1= ( 1/sqrt3, \ \ 1/sqrt3, \ \ 0, \ \ -1/sqrt3 )$;
$u2= ( 5/sqrt51, \ \ -4/sqrt51, \ \ 3/sqrt51, \ \ 1/sqrt51 )$.
Non so come trovare le equazioni cartesiane.

2)In R2[x] si consideri il prodotto scalare
$< p(x); q(x) >= p(-1)q(-1) + p(1)q(1) + p(0)q(2) + p(2)q(0)$ :
Verificare se il prodotto scalare è non degenere.
Calcolarne la segnatura.

Ho capito che devo construirmi una matrice S che rappresenta il prodotto rispetto alla base $1, t,t^2$, ma non so come fare.

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[billyballo2123]

"sogno96":
Non so come trovare le equazioni cartesiane.

Il sottospazio di $\mathbb{R}^4$ ortogonale a $W$ è composto da tutti i vettori $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ che moltiplicati scalarmente per $v_1$ e $v_2$ (o anche $u_1$ e $u_2$) danno zero. Dunque
$ { ( x_1+x_2-x_4=0 ),( 2x_1-x_2+x_3=0 ):} $

"sogno96":
Ho capito che devo construirmi una matrice S che rappresenta il prodotto rispetto alla base $1, t,t^2$, ma non so come fare.

Se poni $1=\mathbf{e}_1$, $t=\mathbf{e}_2$ e $t^2=\mathbf{e}_3$, allora $a_{ij}=<\mathbf{e}_i;\mathbf{e}_j>$, dunque
\[
A=
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 2
\end{bmatrix}.
\]

[sogno96]

Scusa non riesco a capire come hai risolto il secondo esercizio.
Se io pongo
$ = e1(-1)e1(-1)+e1(1)e1(1)+e1(0)e1(2)+e1(2)e1(0)$
a me viene:
$=(-1*-1)+(1*1)+(0*2)+(2*0)=2$

Cosa sbaglio?

[billyballo2123]

Sbagli perché se $p(x)=q(x)=1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, allora significa che $p$ e $q$ sono costanti e di conseguenza valutandoli il qualunque punto varranno uno. Quindi $p(-1)=q(-1)=1$, $p(1)=q(1)=1$, $p(0)=q(0)=1$ e $p(2)=q(2)=1$.