Base ortonormale rispetto al prodotto scalare
Ciao a tutti . Frequento il primo anno di ingegneria meccanica e giovedi ho un esame ! L'ultima richiesta del seguente esercizio mi lascia ancora molto perplesso ! Spero che un vostro aiuto mi tolga ogni dubbio !
Sia f l'endomorfismo di $ RR ^(3) $ definito nel modo seguente :
$ f(e_1+e_2)=2e_1+2e_2;
f(e_1-e_3)=2e_1+2e_3;
f(e_1+e_2+e_3)=e_2+e_3; $
a.dimostrare che f è diagonalizzabile
b. determinare una matrice invertibile P e una matrice diagonale D tale che detta A la matrice canonicamente associata a f, si abbia $ A=P^(-1)xDxP $
c. detto $ mu $ il maggiore degli autovalori di f, determinare una base dell'autospazio $ V_mu $ che sia ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico .
I primi due punti gli ho svolti senza problemi ma non riesco a interpretare l'ultima richiesta . Svolgendo il primo punto ho trovato che il maggior autovalore di f è $ mu=2 $. Adesso cosa devo fare???? cosa intende per prodotto scalare canonico??? io ho sempllicemente trovato una base qualunque dell'autospazio V(2) e poi a partire da questa ho applicato il processo di ortogonalizzazione di Gramm-Shmidt ortogonalizzando la base e poi ho diviso per la rispettiva norma per rendere la base ortonormale ma non sono sicuro di aver fatto bene perchè mi chiede che la base sia ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico !! Posso solo sperare in una vostra spiegazione dato che l'esame è ormai imminente !! grazie in anticipo !!
Sia f l'endomorfismo di $ RR ^(3) $ definito nel modo seguente :
$ f(e_1+e_2)=2e_1+2e_2;
f(e_1-e_3)=2e_1+2e_3;
f(e_1+e_2+e_3)=e_2+e_3; $
a.dimostrare che f è diagonalizzabile
b. determinare una matrice invertibile P e una matrice diagonale D tale che detta A la matrice canonicamente associata a f, si abbia $ A=P^(-1)xDxP $
c. detto $ mu $ il maggiore degli autovalori di f, determinare una base dell'autospazio $ V_mu $ che sia ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico .
I primi due punti gli ho svolti senza problemi ma non riesco a interpretare l'ultima richiesta . Svolgendo il primo punto ho trovato che il maggior autovalore di f è $ mu=2 $. Adesso cosa devo fare???? cosa intende per prodotto scalare canonico??? io ho sempllicemente trovato una base qualunque dell'autospazio V(2) e poi a partire da questa ho applicato il processo di ortogonalizzazione di Gramm-Shmidt ortogonalizzando la base e poi ho diviso per la rispettiva norma per rendere la base ortonormale ma non sono sicuro di aver fatto bene perchè mi chiede che la base sia ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico !! Posso solo sperare in una vostra spiegazione dato che l'esame è ormai imminente !! grazie in anticipo !!
Risposte
almeno ditemi come faccio il prodotto scalare canonico !!!
Piano con gli up (non sono concessi, prima di 24 ore).
Quanto al problema, comunque, direi che hai fatto bene: prodotto scalare "canonico" vuol semplicemente dire quello standard (moltiplichi le componenti omonime e sommi). In simboli, se $barx$ e $bary$ sono due vettori e $X$ e $Y$ sono le matrici colonna delle componenti di questi due vettori rispetto a una base ortonormale allora $barx*bary=^tXY$.
In altre parole, rispetto a una base ortonormale, il prodotto scalare standard (o canonico che dir si voglia) è trasposta di $X$ per $Y$.
Quanto al problema, comunque, direi che hai fatto bene: prodotto scalare "canonico" vuol semplicemente dire quello standard (moltiplichi le componenti omonime e sommi). In simboli, se $barx$ e $bary$ sono due vettori e $X$ e $Y$ sono le matrici colonna delle componenti di questi due vettori rispetto a una base ortonormale allora $barx*bary=^tXY$.
In altre parole, rispetto a una base ortonormale, il prodotto scalare standard (o canonico che dir si voglia) è trasposta di $X$ per $Y$.
Grazie mille della spiegazione !!
Potresti spiegarmi la faccenda degli up di 24 ore????
Potresti spiegarmi la faccenda degli up di 24 ore????
ah credo di aver capito... se non passano 24 ore io non posso pretendere che gli altri mi rispondano !!! Chiedo scusa !
Tranquillo, figurati. 
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