Base ortonormale rispetto a prodotto scalare NON canonico
Salve a tutti,
studiando geometria e algebra lineare mi sono imbattuto nel seguente problema:
(Scusate se non scrivo il testo ma scrivo da un cellulare)
Dopo svariati tentativi non sono ancora riuscito a ricavare una base tale che il prodotto scalare dei suoi elementi (a due a due) sia nullo.
Pensavo di utilizzare l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ma avrei bisogno a priori di una base ortogonale.
Sapreste dirmi almeno in teoria come procedereste?
Per la seconda parte penso che si debba calcolare il prodotto vettoriale usando la base trovata al posto di quella canonica, ma correggetemi se sbaglio.
Grazie per l'attenzione!
studiando geometria e algebra lineare mi sono imbattuto nel seguente problema:
(Scusate se non scrivo il testo ma scrivo da un cellulare)
Dopo svariati tentativi non sono ancora riuscito a ricavare una base tale che il prodotto scalare dei suoi elementi (a due a due) sia nullo.
Pensavo di utilizzare l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ma avrei bisogno a priori di una base ortogonale.
Sapreste dirmi almeno in teoria come procedereste?
Per la seconda parte penso che si debba calcolare il prodotto vettoriale usando la base trovata al posto di quella canonica, ma correggetemi se sbaglio.
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Scrivi la matrice del prodotto scalare e trovane gli autovettori. La matrice sarà simmetrica e quindi gli autovettori ortogonali tra di loro e genereranno tutto lo spazio.
La matrice della forma è:
$((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))$
Non ti resta che trovare gli autovettori, questi saranno una base ortogonale
$((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))$
Non ti resta che trovare gli autovettori, questi saranno una base ortogonale
Intanto grazie per le risposte!
Gli autovalori sono veramente "brutti" e questo mi fa pensare che ci sia una via più semplice per risolvere il problema.
Gli esercizi di questo professore non richiedono mai calcoli complessi... Se mai ragionamenti più o meno articolati.
Qualche altro consiglio?
Gli autovalori sono veramente "brutti" e questo mi fa pensare che ci sia una via più semplice per risolvere il problema.
Gli esercizi di questo professore non richiedono mai calcoli complessi... Se mai ragionamenti più o meno articolati.
Qualche altro consiglio?
Brutti? Sai che $e_2$ ed $e_3$ sono ortogonali, non ti resta che trovartene un altro non mi sembra difficile 
Io so calcolare gli autovettori a partire dagli autovalori, quindi se gli autovalori sono questi, direi che i calcoli non sono semplici
Chi sono e2 ed e3? La seconda e la terza colonna?
Chi sono e2 ed e3? La seconda e la terza colonna?
Il secondo e terzo vettore canonico. Sono tra loro ortonormali, anche perché la forma ristretta è l'identità!
$(0,1,0)((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))((x),(y),(z))=(-3,1,0)((x),(y),(z))=-3x+y=0$
Da questo si deduce che l'ortogonale è:
$((alpha),(3alpha),(beta))$
Invece per $e_3$:
$(0,0,1)((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))((x),(y),(z))=(2,0,1)((x),(y),(z))=2x+z=0$
Quindi:
$((gamma),(delta),(-2gamma))$
Per cui un vettore che appartiene all'ortogonale di entrambi è:
$((1),(3),(-2))$
Ed eccoti la base, ortogonale..
$(0,1,0)((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))((x),(y),(z))=(-3,1,0)((x),(y),(z))=-3x+y=0$
Da questo si deduce che l'ortogonale è:
$((alpha),(3alpha),(beta))$
Invece per $e_3$:
$(0,0,1)((14,-3,2),(-3,1,0),(2,0,1))((x),(y),(z))=(2,0,1)((x),(y),(z))=2x+z=0$
Quindi:
$((gamma),(delta),(-2gamma))$
Per cui un vettore che appartiene all'ortogonale di entrambi è:
$((1),(3),(-2))$
Ed eccoti la base, ortogonale..
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