Base ortonormale e spazio nullo di una matrice
Salve a tutti! A distanza di qualche giorno ho un altro problema..
Sono in grado di calcolare lo spazio nullo di una matrice. Voglio però che i vettori che identificano questo spazio nullo formino una base ortonormale. E so costruire una base ortonormale con Gram-Schmidt.
Non mi riesco però a dare una risposta al fatto se questi vettori (che devono far parte dello spazio nullo della matrice e devono formare una base ortonormale) siano unici o no. Potete darmi una spiegazione?
(L'unica cosa a cui sono arrivato è che il fatto che devono essere ortonormali implica che i fattori non contano)
edit: La risposta che mi do' io è: Lo spazio nullo di una matrice, è un "normale" sottospazio. Cioè voglio dire che non ha importanza il fatto che sia proprio lo spazio nullo di una matrice. E qualsiasi sottospazio (a parte in una dimensione forse..) ha infinite basi ortonormali diverse, giusto? Quindi i vettori non sono unici. Correggetemi dove sbaglio, se sbaglio..
Sono in grado di calcolare lo spazio nullo di una matrice. Voglio però che i vettori che identificano questo spazio nullo formino una base ortonormale. E so costruire una base ortonormale con Gram-Schmidt.
Non mi riesco però a dare una risposta al fatto se questi vettori (che devono far parte dello spazio nullo della matrice e devono formare una base ortonormale) siano unici o no. Potete darmi una spiegazione?
(L'unica cosa a cui sono arrivato è che il fatto che devono essere ortonormali implica che i fattori non contano)
edit: La risposta che mi do' io è: Lo spazio nullo di una matrice, è un "normale" sottospazio. Cioè voglio dire che non ha importanza il fatto che sia proprio lo spazio nullo di una matrice. E qualsiasi sottospazio (a parte in una dimensione forse..) ha infinite basi ortonormali diverse, giusto? Quindi i vettori non sono unici. Correggetemi dove sbaglio, se sbaglio..
Risposte
Facciamo un esempio pratico: considero \(\mathbb{R}^3\) e quindi un suo sottospazio \(V\) di dimensione \(2\), sia esso \(\langle e_1, e_2 \rangle \) con \(e_i\) i vettori della base canonica (\(V\) è una copia di \(\mathbb{R}^2\)); userò il prodotto scalare standard. Risulta che (riesci a vedere perché?) \[\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} \rangle \]Cosa ne concludi?
Grazie della risposta. Ne deduco che ci sono infinite basi di vettori ortonormali che generano V. Però non ho capito la relazione con lo spazio nullo.
Cioè io credo che trovato lo spazio nullo di una matrice, e questo (come un normale sottospazio V del tuo esempio) può essere generato da infinite basi ortonormali (giusto?). Poi uso Gram-Schmidt e arrivo insomma a infinite basi ortonormali. E quindi la risposta sarebbe che ci sono infinite basi ortonormali che generano lo spazio nullo della matrice, e sarei capace di calcolarle. E' giusto?
Cioè io credo che trovato lo spazio nullo di una matrice, e questo (come un normale sottospazio V del tuo esempio) può essere generato da infinite basi ortonormali (giusto?). Poi uso Gram-Schmidt e arrivo insomma a infinite basi ortonormali. E quindi la risposta sarebbe che ci sono infinite basi ortonormali che generano lo spazio nullo della matrice, e sarei capace di calcolarle. E' giusto?
Beh, hai detto tu stesso che
Quindi sicuramente se \(V\) è il \(\ker\) di un certo morfismo e \(V=\langle v_1, v_2 \rangle\), allora \(V=\langle \frac{1}{\sqrt{2}} (v_1 - v_2), \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1 + v_2) \rangle \), e questo risponde alla domanda
"Vixent":
[...] Lo spazio nullo di una matrice, è un "normale" sottospazio. [...]
Quindi sicuramente se \(V\) è il \(\ker\) di un certo morfismo e \(V=\langle v_1, v_2 \rangle\), allora \(V=\langle \frac{1}{\sqrt{2}} (v_1 - v_2), \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1 + v_2) \rangle \), e questo risponde alla domanda
"Vixent":
[...] Non mi riesco però a dare una risposta al fatto se questi vettori [...] siano unici o no. [...]
"Delirium":
Beh, hai detto tu stesso che
[quote="Vixent"][...] Lo spazio nullo di una matrice, è un "normale" sottospazio. [...]
Quindi sicuramente se \(V\) è il \(\ker\) di un certo morfismo e \(V=\langle v_1, v_2 \rangle\), allora \(V=\langle \frac{1}{\sqrt{2}} (v_1 - v_2), \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1 + v_2) \rangle \), e questo risponde alla domanda
"Vixent":[/quote]
[...] Non mi riesco però a dare una risposta al fatto se questi vettori [...] siano unici o no. [...]
Ho capito. Grazie mille!! Avevo detto qualcosa ma non ero molto sicuro.
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