Base ortonormale di una forma quadratica
Salve non riesco a risolvere questo esercizio, non so proprio come procedere.
Si consideri la forma quadratica:
Q(x,y,z) = x^2 - 2xy + 4xz + 2y^2 - yz + z^2
a) Determinare una base ortonormale rispetto alla quale Q diagonalizza.
b) Descrivere le quadriche associate alla forma quadratica Q.
grazie in anticipo
Si consideri la forma quadratica:
Q(x,y,z) = x^2 - 2xy + 4xz + 2y^2 - yz + z^2
a) Determinare una base ortonormale rispetto alla quale Q diagonalizza.
b) Descrivere le quadriche associate alla forma quadratica Q.
grazie in anticipo
Risposte
come sempre con le forme quadratiche, premetto che non le ho mai trattate, quindi prendi sempre con le pinze quello che ti dico. detto questo il punto b) purtroppo non ho la minima idea di come si risolva.
per il punto a) mi sembra invece ti stia chiedendo di calcolare una base di autovettori ortonormale. ciò che devi fare quindi sarebbe il solito procedimento della diagonalizzazione e poi ortonormalizzare la base di autovettori, quindi:
1.calcoli il polinomio caratteristico e gli autovalori
2. calcoli l'autospazio e da qui trovi gli autovettori
3. consideri la base formata dagli autovettori e ortogonalizzi con il procedimento di Gram_Schmidt
4. normalizzi i vettori del punto 3
per il punto a) mi sembra invece ti stia chiedendo di calcolare una base di autovettori ortonormale. ciò che devi fare quindi sarebbe il solito procedimento della diagonalizzazione e poi ortonormalizzare la base di autovettori, quindi:
1.calcoli il polinomio caratteristico e gli autovalori
2. calcoli l'autospazio e da qui trovi gli autovettori
3. consideri la base formata dagli autovettori e ortogonalizzi con il procedimento di Gram_Schmidt
4. normalizzi i vettori del punto 3
"cooper":
come sempre con le forme quadratiche, premetto che non le ho mai trattate, quindi prendi sempre con le pinze quello che ti dico. detto questo il punto b) purtroppo non ho la minima idea di come si risolva.
per il punto a) mi sembra invece ti stia chiedendo di calcolare una base di autovettori ortonormale. ciò che devi fare quindi sarebbe il solito procedimento della diagonalizzazione e poi ortonormalizzare la base di autovettori, quindi:
1.calcoli il polinomio caratteristico e gli autovalori
2. calcoli l'autospazio e da qui trovi gli autovettori
3. consideri la base formata dagli autovettori e ortogonalizzi con il procedimento di Gram_Schmidt
4. normalizzi i vettori del punto 3
scusa la mia ignoranza, mi potresti illustrare il procedimento di Gram-Schmidt?
guarda questa discussione 
in pratica scegli il primo vettore così com'è e poi per creare gli altri togli agli autovettori le proiezioni sugli altri vettori.
volendo puoi anche cercarlo in rete ci sono siti in cui è spiegato molto bene. se ancora non ti fosse chiaro puoi ripostare qui che ti spiego meglio
si tratta comunque di un algoritmo, quindi sono conti.
in pratica scegli il primo vettore così com'è e poi per creare gli altri togli agli autovettori le proiezioni sugli altri vettori.
volendo puoi anche cercarlo in rete ci sono siti in cui è spiegato molto bene. se ancora non ti fosse chiaro puoi ripostare qui che ti spiego meglio
si tratta comunque di un algoritmo, quindi sono conti.
"cooper":
guarda questa discussione
in pratica scegli il primo vettore così com'è e poi per creare gli altri togli agli autovettori le proiezioni sugli altri vettori.
volendo puoi anche cercarlo in rete ci sono siti in cui è spiegato molto bene. se ancora non ti fosse chiaro puoi ripostare qui che ti spiego meglio
la matrice associata ad una quadrica è sempre 4x4 giusto?
bhe no. se leggi il mio primo messaggio del thread che ti ho linkato, noterai che per la forma quadratica assegnata nell'esercizio la matrice rappresentativa era $3 xx 3$.
"cooper":
bhe no. se leggi il mio primo messaggio del thread che ti ho linkato, noterai che per la forma quadratica assegnata nell'esercizio la matrice rappresentativa era $3 xx 3$.
non riesco proprio a raccapezzarmi..
i tre autovalori possono essere K=0 K=-1 K=1/2 ??
nel tuo esercizio la matrice rappresentativa, che per altro è una $3xx3$, risulta:
di questa calcoli gli autovalori.
sono numeri assolutamente plausibili. se vuoi puoi postare i tuoi conti che li controllo.
$ [ ( 1 , -1 , 2 ),( -1 , 2 , -1/2 ),( 2 , -1/2 , 1 ) ] $
di questa calcoli gli autovalori.
"simo996":
i tre autovalori possono essere K=0 K=-1 K=1/2 ??
sono numeri assolutamente plausibili. se vuoi puoi postare i tuoi conti che li controllo.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
fin qui è giusto?
mi sembra di si ma faccio molta fatica a capire. sarebbe meglio se tu postassi i calcoli invece che allegare la foto. se non tutti almeno qualche passaggio, come il primo e qualcun altro più avanti saltandone alcuni centrali.
non mi escono proprio i calcoli 
te li faccio io allora stavolta. la prossima volta prova a postare tu i tuoi calcoli invece di mettere la foto così è tutto più chiaro.
a me esce così
$ |( 1-lambda , -1 , 2 ),( -1 , 2-lambda , -1/2 ),( 2 , -1/2 , 1-lambda ) |= (1-lambda)[(2-lambda)(1-lambda)]+(lambda-1+1)+2[1/2-2(2-lambda)] =
=(1-lambda)(lambda^2-3lambda+7/4)+5lambda-7=
= -lambda^3+4lambda^2-19/4lambda+7/4=-1/4(lambda-1)(lambda-3/2-sqrt2/2)(lambda-3/2+sqrt2/2) $
=(1-lambda)(lambda^2-3lambda+7/4)+5lambda-7=
= -lambda^3+4lambda^2-19/4lambda+7/4=-1/4(lambda-1)(lambda-3/2-sqrt2/2)(lambda-3/2+sqrt2/2) $
a me esce così
Grazie mille ho risolto
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