Base ortonormale

[michael891]

ciao a tutti
ho un dubbio riguardo le basi ortonormali.volevo sapere se si può trovare sempre una base ortonormale rispetto ad un determinato prodotto scalare.cioè il fatto che il prodotto scalare sia degenere o meno influisce sull'esistenza o meno di una base ortonormale?
per quanto ho capito se il prodotto scalare è non degenere allora è definito positivo o negativo(in questo caso non ho vettori isotropi non nulli)o indefinito.se invece è degenere è semidefinito positivo o negativo(esistono sicuramente vettori isotropi non nulli) o indefinito.

vi ringrazio per la disponibilita

[dissonance]

"michael89":
per quanto ho capito se il prodotto scalare è non degenere allora è definito positivo o negativo(in questo caso non ho vettori isotropi non nulli)o indefinito.se invece è degenere è semidefinito positivo o negativo(esistono sicuramente vettori isotropi non nulli) o indefinito.

E no, non è proprio così. Ci sono prodotti scalari non degeneri, che però hanno vettori isotropi non nulli. Esempio facile facile:
$\langle (x_1, y_1) ; (x_2, y_2) \rangle=(x_1, y_1)((0,1),(1,0))((x_2), (y_2))$. Infatti molti autori, parlando di "prodotto scalare", richiedono a priori che sia definito positivo: in questo caso, come è facile verificare, non ci sono vettori isotropi non nulli.

[fu^2]

Aggingo che se il prodotto scalare è definito positivo, allora esiste sempre una base ortonormale. (Processo di ortonormalizzazione di Gram-schmidt)

http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... am-Schmidt

[michael891]

si ma quel prodotto scalare è non degenere ma indefinito quindi possono esistere vettori isotropi non nulli.solo se è non degenere e definito positivo o negativo allora sicuramente non esistono vettori isotropi non nulli giusto?

[fu^2]

si, dalla definizione.

Un prodotto scalare si dice definito positivo (negativo) se $\>=0,AAvinV$ (minore se è def negativo) e vale l'uguale sse $v=0$.

[michael891]

ok.invece per le basi ortonormali?cioè esistono sempre basi ortonormali indipendentemente che il prodotto scalare sia degenere o meno?

[fu^2]

"fu^2":Aggingo che se il prodotto scalare è definito positivo, allora esiste sempre una base ortonormale. (Processo di ortonormalizzazione di Gram-schmidt)

http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... am-Schmidt

[michael891]

ok.ma se il prodotto scalare non fosse definito positivo esiste comunque una base ortonormale?
quello che mi chiedo è che se avessi un prodotto scalare indefinito o semidefinito(in cui quindi si hanno vettori isotropi non nulli)è possibile comunque trovare una base ortonormale?

[dissonance]

Informati sul Teorema di Sylvester. E' lì la risposta alla tua domanda.

P.S.: O almeno così credo io. Detto questo, ascolta fields e fu^2 che ne sanno molto più di me.

[michael891]

scusate ma non riesco a capire.cioè se ho un prodotto scalare definito positivo riesco a trovare una base ortonormale utilizzando grahm schmidt ma se non lo è possono esserci vettori isotropi e quindi non si può utilizzare questo metodo.
se infatti ho un prodotto scalare
=f '($\pi/3)g '(\pi/3)$ generato dalle funzioni (e^x,senx,cosx) costruendo la matrice associata a tale prodotto scalare mi viene una matrice indefinita.utilizzando grham schmidt però noto che nel processo di ortogonalizzazione mi vengono fuori dei vettori isotropi e quando devo normalizzarli non posso poichè la norma è nulla.
siccome il testo dell'esercizio mi dice trovare se esiste una base ortonormale non riesco a capire se non riesco a trovarla con grahm schmidt oppure se non esiste proprio essendo tale prodotto scalare indefinito.

[dissonance]

Forse ho capito... Tempo fa abbiamo parlato di prodotti scalari, e menzionammo l'algoritmo di Gram-Schmidt e una versione modificata per prodotti scalari non necessariamente definiti positivi. Adesso si tratta di applicare quei risultati. Giusto? Mi ricordo bene?

Comunque, ti ripeto che la risposta che ti serve è nel Teorema di Sylvester. Hai mai sentito parlare di segnatura di una forma bilineare simmetrica reale?

[fu^2]

allora se il prodotto non è positivo definito nessuno ti assicura di trovarlo.

in particolare la norma è definita come $|v|=sqrt()$ quindi, se rifletti come ha suggerito dissonance, sul th di Sylvester, puoi trovare casi in cui non esiste una base ortonormale.

Basta prendere un prodotto definito negativo a quel punto, presa una base ${v_1,...,v_n}$ di $V$ avrai che per essere ortonormale $\=delta_{ij}$ in particolare deve soddisfare $=1$ ma se il prodotto è definito negativo questo di assicura xhe $\<0$ se $v!=0$ quindi la base ipotizzata non esiste.


Quello che puoi pretendere è che esista una base ortogonale, li infatti è preteso che $\=0$ se $i!=j$ e non ci sono condizioni nel caso $i=j$. Una base ortogonale esiste sempre, una base ortonormale no (Tutto gira intorno a Sylvester, oppure se vuoi si dimostra facilmente per induzione).

[michael891]

ok infatti nell'esercizio di prima in cui il prodotto scalare non è definito positivo una base ortogonale la riesco a trovare ma una ortonormale no poiche le norme mi si annullano.quindi non sempre esistono basi ortonormali mentre ortogonali esistono sempre.però non riesco a capire come rendermene conto se possono esistere o no.guardandomi il teorema di sylvester ho visto che dice che una base ortogonale esiste sempre e due basi ortogonali hanno la stessa segnatura ma non dice la condizione che serve affinchè esistano basi ortonormali.io per l'esercizio di prima ho notato che da qualunque funzione tra e^x,senx,cosx inizi a usare grahm schmidt mi saltano fuori vettori isotropi che non riesco a normalizzare e da li ho dedotto che non esiste una base ortonormale ma solo ortogonale per quel prodotto scalare.come faccio con il teorema di sylvester a capire se esiste o meno?

[fu^2]

per capire quando esistono devi prendere una base ortogonale e dire: QUANDO si ha che $\=1$.

Procediamo per gradi:

Dato uno spazio vettoriale contenete vettori isotropi riesci sempre a trovare una base costituita da vettori non isotropi tra loro?

Inizia a rispondere alla seconda domanda. E posta la dimostrazione, questo è il primo passo per chiarirti le idee

[michael891]

non è detto.se ho uno spazio vettoriale con vettori isotropi facendo un procedimento di ortogonalizzazione posso ottenere vettori ortogonali ma puo darsi che uno o piu di loro siano isotropi e quindi in quel caso non posso normalizzarli

[fu^2]

si, ma la domanda era un'altra:

se ho una base candidata ${v_1,...,v_n}$ di $V$. Mettiamo che in essa ci siano vettori isotropi. Su questa non ci puoi fare nulla.
Quindi sei in grado sempre di prendere altri n vettori ${w_1,...,w_n}$ di $V$ linearmente indipendenti che formino una base per $V$? (cioè butti via la base vecchia e ne metti una nuova contenente vettori non isotropi)

Capito ora la domanda? Questo è un bel punto di inizio per rispondere alle tue perplessità.

[fu^2]

per intenderci, per esempio su $CC^2$ hai definito il prodotto scalare standar di $A=Id$.

Allora dici: bella ${((1),(i)),((1),(0))}$ ma $<((1),(i)),((1),(i))>\=1+i^2=0$ quindi non va bene, la buttiamo via. Prendiamo ${((0),(i)),((1),(0))}$ questa va bene ! perchè non ha vettori isotropi.

[michael891]

si però se io ho gia un prodotto scalare e mi viene data una base se io faccio la matrice associata a tale base vedo già se è ortonormale,ortogonale o nessuna delle due.se è gia ortonormale ho finito,se è ortogonale basta che normalizzo la base che ho se invece devo renderla ortogonale e poi normalizzarla ho visto che nei casi in cui la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base data è indefinita o comunque non definita positiva.a quel punto facendo il procedimento di grahm schmidt pongo w1=v1 ma quando devo fare w2=v2-(/>w1,w1>)w1 mi salta fuori che w2 è isotropo.in questo caso non posso normalizzarlo e non posso trovare nemmeno w3 sempre con grham schmidt.in questo caso essendo la base iniziale data non credo che posso sostituire un vettore di tale base con un altro a caso tale che non mi vengano fuori vettori isotropi perchè la base ortonormale la devo costruire dalla base di partenza giusto?

[fu^2]

se quello che vuoi è data una base in partenza se posso smanettarci sopra affinchè diventi ortonormale allora ti sei già risposta.

Se quello che vuoi è dire dato un prodotto scalare allora posso trovare una base ortonormale questa è un'altra storia, sbaglio? In questo caso è lecito modificarla

[dissonance]

Io credo che michael si stia confondendo perché tempo fa parlavamo di un algoritmo, variante dell'algoritmo di Gram-Schmidt, volto a diagonalizzare (= costruire una base ortogonale) tutti i prodotti scalari. Cosa che confermo esistere. Ma occhio alla parola in corsivo nelle parentesi. C'è scritto ortogonale non ortonormale. E' molto diverso.

[fu^2]

"dissonance":Ma occhio alla parola in corsivo nelle parentesi. C'è scritto ortogonale non ortonormale. E' molto diverso.

a dove ti riferisci scusa?