Base ortonormale

[michael891]

ciao a tutti
ho un dubbio riguardo le basi ortonormali.volevo sapere se si può trovare sempre una base ortonormale rispetto ad un determinato prodotto scalare.cioè il fatto che il prodotto scalare sia degenere o meno influisce sull'esistenza o meno di una base ortonormale?
per quanto ho capito se il prodotto scalare è non degenere allora è definito positivo o negativo(in questo caso non ho vettori isotropi non nulli)o indefinito.se invece è degenere è semidefinito positivo o negativo(esistono sicuramente vettori isotropi non nulli) o indefinito.

vi ringrazio per la disponibilita

[dissonance]

E' una self-reference al mio stesso post. Una vera e propria gigioneria da autore consumato.

Comunque, volevo sottolineare che una base ortogonale è una cosa, e una base ortonormale è un'altra. Le prime esistono per tutte le forme quadratiche. Le seconde assolutamente no.

[michael891]

allora io avevo un problema che diceva:
dato il prodotto scalare =f '($\pi/3$)g '($\pi/3$) determinare:
-la matrice associata a tale prodotto scalare rispetto alle funzioni (e^x,senx,cosx)
-trovare se esiste una base ortonormale
allora io facendo S i,j= ho costruito la matrice associata S e analizzandola ho visto che non era definita positiva.ora,se era definita positiva la base ortogonale la trovavo sicuramente,in questo caso però ho avuto difficoltà.
effettuando il procedimento di grham schmidt per trovare una base ortogonale e poi ortonomale ho posto w1=v1 cioè e^x.in seguito dividendo per la sua norma lo posso normalizzare.però nel fare w2=v2-(/)w1 per trovare quindi il secondo vettore ortogonale ho visto che w2 mi veniva un vettore isotropo e quindi non l'avrei potuto normalizzare e gia cosi non potevo trovare una base ortonormale(mentre una ortogonale si).a questo punto mi chiedovo se c'era un altro modo per trovare una base ortonormale oppure se non esiste proprio poichè mentre cerco di ortogonalizzarla vengono fuori vettori isotropi.in piu siccome la domanda dell'esercizio era trovare se possibile una base ortonormale mi chiedevo quando è possibile che essa non esista.cioè se il prodotto scalare è positivo definito ok la trovo ma se è indefinito oppure semidefinito(cioè il prodotto scalare è degenere)non è detto che esista una base ortonormale giusto?ecco ma come faccio a dirlo quando posso trovarla e quando invece non esiste quando ho un prodotto scalare non definito positivo?

[fu^2]

per facilitare il prodotto in questione, saresti così gentile da postare la matrice da te calcolata?

[michael891]

allora la matrice associata mi viene:
$((e^(2\pi/3),(e^\pi/3)/2,(-sqrt(3)/2)*e^(2\pi/3)),(e^(\pi/3)/2,1/4,-sqrt(3)/4),((-sqrt(3)/2)*e^(2\pi/3),-sqrt(3)/4,3/4))$

ora applicando grham schmidt:
w1=v1=e^x e poi dovro normalizzarlo
w2=v2-(/)w1=$senx-(e^(x-\pi/3)/2)$ che è si ortogonale a w1 ma essendo isotropo non posso normalizzarlo.
in piu non posso nemmeno trovare w3 poichè secondo il prcedimento di grahm scmidt dovrò dividere per che essendo isotropo è nullo.siccome w2 mi viene isotropo ho provato anche a scambiare l'ordine che inizialmente era(e^x,senx,cosx) e fare (e^x,cosx,senx) ma anche cosi mi viene un vettore w2 isotropo.quindi w1,w2 che ho trovato cercando di rendere ortogonale senx e e^x e infine w2 che ho trovato cercando di rendere ortogonale e^x e cosx,sono 3 vettori ortogonali ma non ortogonali infatti normalizzando w1 mi viene =1 ma =0 e quindi la base è non è ortonormale.è comunque ortogonale perche w1,w2,w2 sono ortogonali.

[fu^2]

Sia $V$ lo spazio vettoriale generato da ${e^x,sinx,cosx}$. questa base la chiamerò ${v_1,v_2,v_3}$ per brevità nella notazione.

Definiamo un prodotto scalare ($\=f'(pi/3)g'(pi/3)$) su $V$, allora la matrice del prodotto scalare indotto dalla base è


$A=((e^(2\pi/3),(e^\pi/3)/2,(-sqrt(3)/2)*e^(2\pi/3)),(e^(\pi/3)/2,1/4,-sqrt(3)/4),((-sqrt(3)/2)*e^(2\pi/3),-sqrt(3)/4,3/4))$.

Allora i miei pensieri sono giuti a questo, aspetta poi conferma da qualcuno.
Bene te vorresti trovare una base in cui $A=I$. Se non dico cagate tge puoi vedere $A$ come un operatore da $V->V$ e su esso puoi vederci inserito il prodotto scalare canonico $G_{ij}=delta_{ij}$, questo è un prodotto scalare definito positivo. Allora Potrai scrivare, se $w_j=sum_{i=1}^3w_{ij}v_i,j=1,2$, che il prodotto scalare rispetto ad $A$ si scrive come $\=w_1^TG^TAw_2=w_1^TAw_2$.

Per il teorema spettrale (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_spettrale) quindi puoi trovare una base di $V$ (quindi devi operare un cambio di base) che sarà ortonormale rispetto alla matrice $G$ e in questa forma $A$ si scriverà come una matrice diagonale (con sulla diagonale i suoi autovalori). Sia questa base ${w_1,w_2,w_3}$. Riscalando opportunamente la base puoi ottenere una fila di $1,-1,0$ (questa strada la puoi percorrere usando anche il th di sylvester). Però questa è una strada per complicarsi la vita inutilmente, ci sono mille altre vie più brevi che conosci già, l'ho scritta pensando

Per farla breve: Puoi ridurre tutto a una base ortogonale. In questa base avrai quindi che $\=0i!=j$ quindi la matrice del prodotto scalare in questa base si scriverà come una matrice diagonale.
Se un vettore è isotropo allora ti verrà un bello zero altrimenti puoi riscalare tutto fino a ottenere sulla diagonale una fila di $1,-1,0$. (usando in modo opportuno gram va bene, nel senso ortogonalizzo e poi, se non è isotropo, normalizzo e ottengo quindi 1 o -1$.

e più di così non puoi fare, Infatti, essendo sul campo reale, delle matrici simili hanno lo stesso grado di nullità e positività.

Quindi essere definiti positivi è una condizione necessaria alla ortonormalità (conclusione odierna) se siamo sul campo reale. Spero di non aver detto troppe scemenze e errori, aspetta che qualcuno confermi e intanto leggi con tono critico quello che ho detto

[michael891]

si penso anche io che sia cosi.ortogonalizzando i vettori mi viene una matrice diagonale e normalizzando la diagonale principale sarà composta da 1,-1 o 0 se il vettore è isotropo.quindi se è definita positiva esisterà la base ortonormale con con la diagonale principale con tutti 1.negli altri casi invece devo vedere e se mentre faccio gram schmidt mi saltano fuori vettori isotropi allora posso creare al massimo una base ortogonale.in particolare credo che se il prodotto scalare sia definito negativoposso creare una base tale che la matrice associata sia diagonale e la diagonale principale sia composta da tutti -1.comunque anche qui non esite una base ortonormale.quindi alla fine l'esistenza o meno di una base ortonormale si riduce al fatto che se ortogonalizzando i vettori ottengo vettori isotropi allora tale base non esiste.

[fu^2]

e con un percorso quasi hegeliano siamo tornati al secondo post di dissonance in questa discussione

[michael891]

aspetta però se l'esercizio mi dice dato tale prodotto scalare =f '($\pi/3$)g '($\pi/3$) generato dalle funzioni (e^x,senx,cosx)
-trovare se esiste una base ortonormale.
abbiamo visto che non possiamo trovare una base ortonormale cercando prima di ortogonalizzare i vettori v1,v2,v3 che sono rispettivamente e^x,senx,cosx.
è possibile però che esista una base ortonormale v1,v2,v3 dove però questi vettori non sono quelli dati che io poi cercherò di rendere ortogonali e poi ortonormali ma vettori che scelgo io opportunamente in modo da creare una base ortonormale?
però anche ammesso che esista si può fare una cosa del genere?cioè se l'esercizio mi dice che il prodotto scalare è definito da quelle funzioni io per trovare una possibile base ortonormale devo lavorare su quelle funzioni o vettori non su altri che scelgo giusto?

[fu^2]

se leggi ti ho risposto nello spoiler.

Se prendi una base il massimo che puoi fare è ottenere 0,-1,1. Questa struttura è invariante sotto cambi di base, quindi non arriverai mai a ottenere tutti 1 sulla diagonale. Ottenere tutti uno sulla diagonale vuol dire che, nella base scelta, il prodotto scalare indotto dalla base è esattamente $delta_{ij}$ cioè la base è ortonormale.
Ricorda che Tutti questi discorsi si fanno nel caso reale.

[michael891]

ok.quindi la presenza di vettori isotropi non nulli esclude l'esistenza di una base ortonormale giusto?cioè un prodotto scalare definito positivo avrà una base ortonormale ma non avrà vettori isotropi non nulli.al contrario un prodotto scalare semidefinito(dove quindi la matrice associata avrà determinante nullo cioè il prodotto scalare è degenere) avrà vettori isotropi non nulli ma non avrà una base ortonormale