Base ortonormale

[ing.mecc1]

ciao a tutti, ho un piccolo problemino,l'esercizio recita così:
data la matrice(simmetrica)
[ve la scrivo per righe]
(2 2 2)
(2 5 4)
(2 4 5)

determinare gli autovalori, le equazioni cartesiane degli autospazi e una terna ortonormale di autovettori.

per gli autovalori nn ho problemi e sono:
1(2 volte) e 10
le equazioni cartesiane anche le ho trovate, ma nn sono sicurissimo, mentre nn riesco a determinare la base ortonormale,anche usando (Gram-Schmidt)
sicuramente sbaglio qualcosa...un grazie in anticipo a chi mi darà una mano

[-Veon-1]

Se non sbaglio per matrici simmetriche, gli autovettori, associati ai rispettivi auvalori sono ortogonali e linearmente indipendenti, costituiscono cioè una base ortogonale.
Dividendo poi per il modulo del vettore, ottieni la base ortonormale.

[ing.mecc1]

ok, ma nell'esercizio di sopra ho un autovalore di molteplicità 2,la base ortonormale deve cmq essere formata da 3 elementi, i primi 2 li ho trovati e sono anche ortonormali ma il terzo elemnto nn riesco a trovarlo ,ci sarà sicuramente un procedimento semplicissimo, ma io nn riesco a capire come si fa per calcolarlo...

[_luca.barletta]

con l'autovalore 1 riesci a trovare 2 autovettori ortogonali. Con l'autovalore 10 trovi l'ultimo autovettore, ortogonale agli altri 2. Poi normalizzi il tutto

[ing.mecc1]

ciao luca,mi potresti far vedere come ti ricavi 2 autovettori dall'autovalore 1?
grazie

[_luca.barletta]

$A-I=[[1,2,2],[2,4,4],[2,4,4]]$
ottieni l'equazione cartesiana:
$x+2y+2z=0$, la molteplicità geometrica è 2, quindi puoi individuare 2 autovett indip, ad esempio:
$V_1=[[0],[1],[-1]]$ e $V_2=[[-4],[1],[1]]$

ora puoi normalizzare

[ing.mecc1]

grazie..era proprio una stupidaggine,delle volte mi perdo in un bicchier d'acqua...