Base ortonormale
sto cercando di risolvere questo "quesito" un po' particolare ma non ho davvero idea su come procedere.
"Si trovi un algoritmo che, dato un vettore generico $x in CC^n$, norma euclidea di $x$ pari a $1$, faccia si che $(x,V_2,...,V_n)$ sia base ortonormale di $CC^n$
ciò a cui sono giunto è questo:
il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$: infatti una volta trovata una base che contiene $x$, poi applicando Grand_Schmidt la rendo ortonormale.
non riesco a capire come sfruttare il fatto che la norma euclidea di $x$ sia $1$
grazie
"Si trovi un algoritmo che, dato un vettore generico $x in CC^n$, norma euclidea di $x$ pari a $1$, faccia si che $(x,V_2,...,V_n)$ sia base ortonormale di $CC^n$
ciò a cui sono giunto è questo:
il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$: infatti una volta trovata una base che contiene $x$, poi applicando Grand_Schmidt la rendo ortonormale.
non riesco a capire come sfruttare il fatto che la norma euclidea di $x$ sia $1$
grazie
Risposte
Ciao 
,
In che senso?
L'algoritmo si chiama ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Parti dalla definizione di norma: come si calcola?
,"Aletzunny":
il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$
In che senso?
"Aletzunny":
applicando Grand_Schmidt la rendo ortonormale.
L'algoritmo si chiama ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
"Aletzunny":
non riesco a capire come sfruttare il fatto che la norma euclidea di $ x $ sia $ 1 $
Parti dalla definizione di norma: come si calcola?
$ ||x||=sqrt(sum_{i=1}^n (x_i)^2)$ ma non ho compreso come mi possa aiutare, poiché in tale somma posso ottenere $1$ (salvo miei errori) in molti modi diversi
Il fatto che la norma di $x$ sia 1 non ti dice niente, è necessario che $x$ abbia norma 1 altrimenti $x$ non potrebbe appartenere a una base ortonormale (la parola "ortonormale" significa che i vettori sono due a due ortogonali e di norma 1 - "normale" significa di norma 1). Ora quanto all'algoritmo: hai pensato di considerare lo spazio ortogonale a $x$? Cioè lo spazio che consiste di tutti e soli i vettori ortogonali a $x$.
"Martino":
Il fatto che la norma di $x$ sia 1 non ti dice niente, è necessario che $x$ abbia norma 1 altrimenti $x$ non potrebbe appartenere a una base ortonormale (la parola "ortonormale" significa che i vettori sono due a due ortogonali e di norma 1 - "normale" significa di norma 1). Ora quanto all'algoritmo: hai pensato di considerare lo spazio ortogonale a $x$? Cioè lo spazio che consiste di tutti e soli i vettori ortogonali a $x$.
ciao, prima di tutto ad essere onesto non avevo nemmeno pensato (e non ricordavo) la sua esistenza: ho trattato algebra lineare in maniera del tutto diverse e questi argomenti sono stati trascurati anche a lezione; sostanzialmente dovrei considerare $P={v in CC^n |
1) come costruisco in primis $P$
2) automaticamente i vettori di $P$ sono linearmente indipendenti e quindi una base di $CC^n$ contenente $x$?
3) applicherei Grand-Schmidt alla base trovata per soddisfare la richiesta iniziale?
grazie
"Aletzunny":
$ ||x||=sqrt(sum_{i=1}^n (x_i)^2)$ ma non ho compreso come mi possa aiutare, poiché in tale somma posso ottenere $1$ (salvo miei errori) in molti modi diversi
Il tuo scopo è ottenere una base di vettori ortogonali e di norma unitaria, quindi $||x||=1$ è uno degli obiettivi; prima mi sono espresso in modo superficiale, volevo intendere "parti dalla definizione di norma per capire come ottenere dei vettori con norma unitaria".
Ma come ho scritto sopra, partendo da quella definizione di Norma euclidea come costruisco $V_2,...,V_n$ linearmente indipendenti con $x$ per poi normalizzarli con G-S?
Prendi un vettore che non appartiene allo spam di x e usi GS. Poi scegli un secondo vettore che non appartenga allo spam dei primi due e usi GS e così via.
Spero di aver capito, potrei forse anche sfruttare i vettori $e_2,..,e_n$
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