Base ortogonale sottospazio lineare

[djskarpia]

ciao a tutti,
ho un esercizio di algebra lineare che ho svolto ma di cui non sono molto sicura, qualcuno potrebbe darmi una mano a capire se e dove ho sbagliato???

l'esercizio è il seguente:

Nel seguito $\nu$ = $\V_7$($\RR$) e, quando si parla di ortogonalità, ci si riferisce al prodotto scalare standard di $\nu$. Sia X il seguente sottoinsieme di $\nu$:

{(s,t,s,t,s,t,s)} con s,t $\in$ $\RR$ $\in$

1. E' vero che X = L( X ) ? io ho risposto SI

2. Indicate una rappresentazione cartesiana di L( X )
io ho risposto: (($\x_3$ - $\x_1$ = 0),($\x_4$ - $\x_2$ = 0),($\x_5$ - $\x_1$ = 0),($\x_6$ - $\x_2$ = 0),($\x_7$ - $\x_1$ = 0)

3. descrivere il sottospazio lineare X^ $\ \bot$
io ho risposto:
(($\x_1$ + $\x_3$ +$\x_5$ + $\x_7$ = 0),($\x_2$ + $\x_4$ + $\x_6$ = 0))

4. indicate una base ortogonale di L( X )
io ho risposto: L((1,0,1,0,1,0,1),(0,1,0,1,0,1,0))

5. se B è la base di L( X ) che avete fornito in risposta alla domanda precedente, indicate quali vettori aggiungereste all'insieme B per ottenere una base di $\nu$, non importa se ortogonale o no.
io ho risposto: aggiungo i versori $\u_3$ = (0,0,1,0,0,0,0) , $\u_4$ = (0,0,0,1,0,0,0), $\u_5$ = (0,0,0,0,1,0,0), $\u_6$ = (0,0,0,0,0,1,0) , $\u_7$ = (0,0,0,0,0,0,1)

6. supponete che nelle domanda precedente vi fosse stato chiesto di scegliere i vettori da aggiungere a B in modo da ottenere una base ortogonale di \$nu$. in tal caso, i vettori che fornireste dipenderebbero dalla scelta di B?
io ho risposto: SI perchè tutte le basi di un sottospazio lineare sono equivalenti

7. quanto valgono dim(L( X )) e cod(L( X ))
io ho risposto: dim(L( X ))= 2
cod(L( X )) = 5

[DavideGenova1]

A me pare che
3. Sì.
6. No (che mi pare che sia quello che intendevi tu anche se hai scritto "sì", giusto?), perché dei vettori sono ortogonali ad un sottospazio se e solo se lo sono ad ogni vettore di una qualunque delle sue basi e quindi una equivale all'altra.

Per quanto riguarda le altre, se vale L(X) = X, mi sembrano proprio giuste, ma non mi è chiaro che cosa indichi L... Che è un sottospazio lineare? Se sì, chiaramente \(X\) lo è...
Spero di essere stato di qualche aiuto...
Ciao!