Base Ortogonale rispetto al prodotto scalare

[apophis79]

Buongiorno, l'esercizio in foto è di un test fatto qualche mese fa di geometria e algebra. Tralasciando i primi 3 punti, volevo avere alcune delucidazioni inerente agli ultimi due punti.

Per il sistema, ho semplicemente svolto il sistema applicando il calcolo del rango delle matrici complete e incomplete e mi sono scritta una soluzione che aveva come parametro a. Facendo i calcoli, se li ho fatti bene, mi esce che per a diverso da 1, il sistema è compatibile , altrimenti no. Scritta la soluzione, credo di aver risolto il penultimo punto. Il vero problema sta qui, il mio ragionaento è questo. Scelgo un valore di a, e mi scrivo una soluzione. Dopodichè, per risolvere il punto 5, devo trovare altre 4 soluzioni che moltiplicate tra di loro scalarmente mi danno zero, giusto?

Grazie in anticipo per la risposta e buona giornata.

[anonymous_0b37e9]

Qualcosa non torna. Infatti:

$a ne 0$

$rango[[a,-1,-a,a,-a],[a,-a,0,0,0]]=2$

$rango[[a,-1,-a,a,-a,0],[a,-a,0,0,0,-1]]=2$

$oo^3$ soluzioni

$a=0$

$rango[[a,-1,-a,a,-a],[a,-a,0,0,0]]=1$

$rango[[a,-1,-a,a,-a,0],[a,-a,0,0,0,-1]]=2$

Impossibile

[apophis79]

Buongiorno, mmm si in effetti rivedendo i calcoli avevo commesso un errore...per il fatto della base ortogonale? è come dico io oppure no?

[anonymous_0b37e9]

Intanto, poiché:

$a ne 0$

$[[a,-1,-a,a,-a],[a,-a,0,0,0]][[x],[y],[z],,[w]]=[[0],[-1]]$

$[[-1,-a],[-a,0]][[y],[z]]=[[-ax-au+aw],[-1-ax]]$

$[[y],[z]]=[[-1,-a],[-a,0]]^(-1)[[-ax-au+aw],[-1-ax]]$

$[[y],[z]]=[[0,-1/a],[-1/a,1/a^2]][[-ax-au+aw],[-1-ax]]$

$[[y],[z]]=[[1/a+x],[-1/a^2+(1-1/a)x+u-w]]$

$[[x],[y],[z],,[w]]=[[x],[1/a+x],[-1/a^2+(1-1/a)x+u-w],,[w]]$

$[[x],[y],[z],,[w]]=[[0],[1/a],[-1/a^2],[0],[0]]+x[[1],[1],[1-1/a],[0],[0]]+u[[0],[0],[1],[1],[0]]+w[[0],[0],[-1],[0],[1]]$

lo spazio vettoriale $V$ dell'ultimo punto è generato dai tre vettori linearmente indipendenti sottostanti:

$[[1],[1],[1-1/a],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[1],[1],[0]] ^^ [[0],[0],[-1],[0],[1]]$

Inoltre, visto che $a$ può essere scelto arbitrariamente, per semplicità si può porre:

$a=1$

e trattare il caso particolare sottostante:

$[[1],[1],[0],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[1],[1],[0]] ^^ [[0],[0],[-1],[0],[1]]$

Infine, non resta che determinare una base del complemento ortogonale $V^\bot$:

$\{(x+y=0),(z+u=0),(-z+w=0):}$

[apophis79]

perfetto, grazie mille, mi metto subito a lavoro