Base ortogonale, Gram-Schmidt, determinante

[3m0o]

Ciao, sono un po' perplesso dal punto b)
Sia \( V= \mathbb{R}^n \), e \( \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle \) il prodotto scalare standard, \( \{ b_1, \ldots, b_n \} \) una base di \( V \) e \( \{ b_{1}^{\star}, \ldots, b_{n}^{\star} \} \), la base ortogonale di \( V \) ottenuta a partire da \( \{ b_1, \ldots, b_n \} \) applicando la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Siano ora
\( B= ( b_1 \ldots b_n ) \in \mathbb{R}^{n \times n } \) e \( B^{\star} = ( b_{1}^{\star} \ldots b_{n}^{\star} ) \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
Sia infine \( \Delta= \max_{i,j} \begin{vmatrix} (b_j)_i \end{vmatrix} \)
a) Dimostra che esiste una matrice \( M \) triangolare superiore con degli 1 sulla diagonale tale che \( B= B^{\star} M \)
b) Dimostra che \( \begin{vmatrix} \det(B) \end{vmatrix} = \prod\limits_{j=1}^{n} \begin{Vmatrix} b_j^{\star} \end{Vmatrix}_2 \)
c) Dimostra che \( \begin{vmatrix} \det(B) \end{vmatrix} \leq ( \sqrt{n} \Delta)^n \)

Il punto a) l'ho fatto,
La Matrice \( M \) è semplicemente \[ \begin{pmatrix}
1 & \alpha_{1,2} & \ldots & \alpha_{1,n} \\
0 & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots& \ddots &\ddots & \alpha_{n-1,n} \\
0 & \ldots & \ldots & 1
\end{pmatrix} \]
Dove \( \alpha_{i,j} = \frac{\left \langle b_j, b_i^{\star} \right \rangle}{\left \langle b_i^{\star}, b_i^{\star} \right \rangle} \) sono i coefficienti di fourier.

il punto c) lo so fare a partire dal punto b),
Ponendo \( \delta = \begin{pmatrix}
\Delta \\
\vdots \\
\Delta
\end{pmatrix} \), risulta che \( \forall j; \begin{Vmatrix} b_j^{\star} \end{Vmatrix}_2 \leq \begin{Vmatrix} \delta \end{Vmatrix}_2 \)
Pertanto, assunto come vero il punto b)
\( \det(B) = \prod\limits_{j=1}^{n} \begin{Vmatrix} b_j^{\star} \end{Vmatrix}_2 \leq \prod\limits_{j=1}^{n} \begin{Vmatrix} \delta \end{Vmatrix}_2= \prod\limits_{j=1}^{n} \sqrt{n} \Delta = (\sqrt{n}\Delta)^n \)

ma il punto b) non mi è molto chiaro
\( \begin{vmatrix} \det(B) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det(B^{\star} M) \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \det(B^{\star})\det(M) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \det(B^{\star})\end{vmatrix} \) e ora?

[Shocker1]

Ciao,

Ad occhio: la base che hai ottenuto è ortogonale, il prodotto scalare standard è definito positivo... Quindi non hai problemi a normalizzare ${b_1^(\star),..., b_n^(\star)}$. Sia $\mathcal{B}$ la base che hai ottenuto in questo modo, considera la matrice di cambio di base fra $\mathcal{B}$ e la canonica. Com'è fatta questa matrice? Che proprietà ha? Che relazione ha con $B^(star)$?

[Bokonon]

"3m0o":
ma il punto b) non mi è molto chiaro
\( \begin{vmatrix} \det(B) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det(B^{\star} M) \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \det(B^{\star})\det(M) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \det(B^{\star})\end{vmatrix} \) e ora?

E ora sfrutti un po' di proprietà
Chiamo la matrice in questione A per comodità.
$|det(A)|=|det(A^T)|$
Moltiplichiamo e dividiamo ogni elemento della riga $a_i$ di $A^T$ per $||a_i||/||a_i||$ e usando la proprietà del determinante otteniamo che $|det(A^T)|=||a_1||*||a_2||*...*||a_i||*...*||a_n||*|det(O^T)|$
dove $O$ è la matrice A ortonormalizzata quindi $|det(A)|=|det(A^T)|=prod_(i = 1)^(n) ||a_i||*|det(O^T)|=prod_(i = 1)^(n) ||a_i||*1= prod_(i = 1)^(n) ||a_i||$

[3m0o]

A beh si ma è vero... anche perché \( B \) essendo una matrice con rango colonna "pieno" può essere decomposta in \( B = B^* R \) dove \( B^* \) è una matrice i cui vettori colonna sono a due a due ortonormali e \( R \) una matrice triangolare superiore, i cui valori sulla diagonale sono positivi.Ponendo \( B^* = B^{\star} D \) e \( R= D^{-1} M \) abbiamo quanto enunciato qui sopra, \( B = B^{\star} M = B^* R \), dove
\[ D^{-1}=\begin{pmatrix}
\begin{Vmatrix} b_1^{\star} \end{Vmatrix} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \begin{Vmatrix} b_n^{\star} \end{Vmatrix}
\end{pmatrix} ;D= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\begin{Vmatrix} b_1^{\star} \end{Vmatrix} }& & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \frac{1}{\begin{Vmatrix} b_n^{\star} \end{Vmatrix}}
\end{pmatrix} \]

E dunque \( \begin{vmatrix} \det(B) \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \det(B^{\star} D) \det( D^{-1} ) \det(M)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1\cdot \det( D^{-1} ) \cdot 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det( D^{-1} ) \end{vmatrix} = \prod\limits_{j}^{n}
\begin{Vmatrix} b_j^{\star} \end{Vmatrix} \)

Grazie mille