Base ortogonale di un sottospazio

[Blackorgasm]

In $RR^3$ si opera con un prodotto scalare $*$ tale che

$( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )* ( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-3$ $( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=0$ $( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-2$

Si determini una base ortogonale del sottospazio $V=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>$

Penso di averlo già postato questo esercizio, però ora l'ho fatto in una maniera diversa (e credo più giusta).

Siccome voglio una base ortogonale del sottospazio $V$ devo usare il procedimento di Gram-Schmidt (e non stabilirmi $V^bot$ come feci nell'altro, giusto?)

pongo $u_1=( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$

$u_2$ lo ottengo facendo $u_2=v_2-(u_1*v_2)/(u_1*u_1)u_1$ e quindi ottengo

$u_2=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )-3/2( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=( ( -1/2 ),( -2 ),( -2 ) )=( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )$

quindi una base ortogonale del sottospazio $V$ è $V=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 4 ),( 4 ) )>$

è giusto? (mi pare che torni uguale anche facendo l'altro procedimento, anche se credo che nel complesso non sia corretto)

[klarence1]

Mi sembra vada bene però non mi torna che $((1),(1),(1))*((1),(1),(1))=0$ ... significherebbe dire che la norma del vettore $((1),(1),(1))$ sia $0$.... cosa impossibile se hai un prodotto scalare... stesso discorso per il vettore $((1),(2),(2))$, non può avere norma negativa (cioè -2) perchè il prodotto scalare è una forma definita positiva.

[blackbishop13]

"klarence":il prodotto scalare è una forma definita positiva.

e chi l'ha detto? non è per nulla vero.
un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica, fine.

[klarence1]

"blackbishop13":[quote="klarence"]il prodotto scalare è una forma definita positiva.

e chi l'ha detto? non è per nulla vero.
un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica, fine.[/quote]

edit. A castroneria ho aggiunto un altra castroneria, scusate.

[mistake89]

Interessante questa cosa: leggo dai miei appunti invece che il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva...

Mi pare che le definizioni siano parecchio divergenti, chissà come mai!

[klarence1]

"mistake89":Interessante questa cosa: leggo dai miei appunti invece che il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva...

Mi pare che le definizioni siano parecchio divergenti, chissà come mai!

Quella è la definizione di prodotto scalare euclideo. Ho fatto io prima confusione.

Edit: su wikipedia fa la distinzione e quindi porta come prodotto scalare solo una 'forma bilineare simmetrica' (come mi han detto sopra), sui miei appunti invece è come dice mistake89.

[Paolo902]

Anche a me è stato insegnato che prodotto scalare = forma bilineare definita positiva.

Definizioni diverse.

[Blackorgasm]

A parte la definizione di prodotto scalare, il professore penso volesse constatare il procedimento e le spiegazioni all'esercizio...
Che dite è giusto?