Base ortogonale di un sotto spazio vettoriale
Ciao! Il mio prof di analisi 2 ha dato nell'ultima traccia il seguente esercizio ma in rete non trovo nulla di simile, qualcuno mi può aiutare a risolverlo
Siano U e V sittospazzi vet. di R^4 definiti come:
[formule]U= span {(1110),(0-101)} , V= span {(10-1-1),(0-1-10)}[/formule]
Calcolare una base ortogonale di: U,V,(V intersecato U),(U+V),(V intersecato U)^perpedicolare, (V+U)^perpedicolare,V^perpedicolare,U^perpedicolare
Grazie in anticipo!
Siano U e V sittospazzi vet. di R^4 definiti come:
[formule]U= span {(1110),(0-101)} , V= span {(10-1-1),(0-1-10)}[/formule]
Calcolare una base ortogonale di: U,V,(V intersecato U),(U+V),(V intersecato U)^perpedicolare, (V+U)^perpedicolare,V^perpedicolare,U^perpedicolare
Grazie in anticipo!
Risposte
È sufficiente sfruttare l'algoritmo di gram-Schmidt
determino una base di U tramite Gram-Scmidt.
Scegliamo il primo vettore:
$ u_{1}=((1),(1),(1),(0)) $ e normalizziamolo: la sua norma $||-||$ è: $ ||u_{1}||=sqrt(3) $ ,pertanto il vettore normalizzato è:
$ w_{1}=1/sqrt(3)*((1),(1),(1),(0)) $
Ora il secondo vettore è:
$ u_{2}=v_{2} -w_{1} $ ...
$ \ldots((0),(-1),(0),(1)) + 1/sqrt(3)((1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(0)) = \ldots =((0),(-1),(0),(1))+ ((1/3),(1/3),(1/3),(0)) = ((1/3),(-2/3),(1/3),(1)) $
Normalizziamolo dividendo per la sua norma, che è $||u_{2}|| = sqrt(2/3)$
$ w_{2}= ((1/3*sqrt(3/2)), ((-2/3)*sqrt(3/2)),(1/3*sqrt(3/2)),(sqrt(3/2))) $
Una base ortonormale è data quindi da $$
Analogamente si procede per V.
In $U\capV$ ti basta trovare una base dell'intersezione e applicarlo.
In $U+V$, trovi una base della somma e applichi l'algoritmo.
$ V^{_|_ } $ invece indica il sottospazio dei vettori ortogonali a V. Ti è sufficiente trovarne una base e procedere come prima...
L'algoritmo di Gram-Schmidt utilizza il concetto di proiezioni ortogonale di un vettore su un sottospazio.
La proiezione di un vettore è l'applicazione lineare così definita:
$ p(v):V->W $
$ v|->w $
Scegliamo il primo vettore:
$ u_{1}=((1),(1),(1),(0)) $ e normalizziamolo: la sua norma $||-||$ è: $ ||u_{1}||=sqrt(3) $ ,pertanto il vettore normalizzato è:
$ w_{1}=1/sqrt(3)*((1),(1),(1),(0)) $
Ora il secondo vettore è:
$ u_{2}=v_{2} -
$ \ldots((0),(-1),(0),(1)) + 1/sqrt(3)((1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(0)) = \ldots =((0),(-1),(0),(1))+ ((1/3),(1/3),(1/3),(0)) = ((1/3),(-2/3),(1/3),(1)) $
Normalizziamolo dividendo per la sua norma, che è $||u_{2}|| = sqrt(2/3)$
$ w_{2}= ((1/3*sqrt(3/2)), ((-2/3)*sqrt(3/2)),(1/3*sqrt(3/2)),(sqrt(3/2))) $
Una base ortonormale è data quindi da $
Analogamente si procede per V.
In $U\capV$ ti basta trovare una base dell'intersezione e applicarlo.
In $U+V$, trovi una base della somma e applichi l'algoritmo.
$ V^{_|_ } $ invece indica il sottospazio dei vettori ortogonali a V. Ti è sufficiente trovarne una base e procedere come prima...
L'algoritmo di Gram-Schmidt utilizza il concetto di proiezioni ortogonale di un vettore su un sottospazio.
La proiezione di un vettore è l'applicazione lineare così definita:
$ p(v):V->W $
$ v|->
Come faccio ad estrarre la base dell' intersezione?
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